Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja
a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes.
Dado
o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 , faça o que se pede.
a) Para que valores de
temos
?
b) Para quais valores de
o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa?
Dado
a) Para que valores de
b) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado descreve um canal binário com probabilidade de erro
a cada bit transmitido. Para reduzir o erro, envia‐se a mesma informação 3 vezes de forma independente e adota‐se um decodificador por maioria (ganha a informação recebida pelo menos duas vezes). Seja
o número de vezes que um dado bit foi recebido corretamente nas três transmissões. Assim
e a probabilidade de o decodificador acertar (isto é, pelo menos 2 acertos) será depois usada na parte (b).
Passo 2
Como
, temos
Para que
basta resolver
Isso dá
Passo 3
Concluímos então que
Passo 4
Agora, para comparar o decodificador de maioria com a transmissão única, note que:
- Na transmissão única a probabilidade de sucesso é
. - No decodificador de maioria, a probabilidade de acertar é
Queremos
Passo 5
Para resolver
dividimos ambos os lados por
(válido para
) e obtemos
Como
, isso ocorre exatamente quando
Resposta
a)
b)
b)