Um bit (0 ou 1) de informação é transmitido por um canal com ruído. Seja p a probabilidade de que seja erradamente recebido. Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três, ou seja, enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes.
Dado N o total de bits corretamente recebidos em um decodificador de maioria de 2 em 3 , faça o que se pede.
a) Para que valores de p temos E[N]>1 ?
b) Para quais valores de p o decodificador de maioria de dois em três tem maior probabilidade de transmitir corretamente que a transmissão de única tentativa?

Passo 1

O enunciado descreve um canal binário com probabilidade de erro p a cada bit transmitido. Para reduzir o erro, envia‐se a mesma informação 3 vezes de forma independente e adota‐se um decodificador por maioria (ganha a informação recebida pelo menos duas vezes). Seja N o número de vezes que um dado bit foi recebido corretamente nas três transmissões. Assim N\sim\mathrm{Binomial}(3,1-p) e a probabilidade de o decodificador acertar (isto é, pelo menos 2 acertos) será depois usada na parte (b).

Passo 2

Como N\sim\mathrm{Binomial}(3,1-p), temos
E[N]=3\,(1-p).
Para que E[N]>1 basta resolver
3\,(1-p)>1.
Isso dá
1-p>\tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad p<\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Concluímos então que
E[N]>1 \quad\text{se, e somente se,}\quad p<\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Agora, para comparar o decodificador de maioria com a transmissão única, note que:
  • Na transmissão única a probabilidade de sucesso é \,1-p.
  • No decodificador de maioria, a probabilidade de acertar é
P(N\ge2) =\binom{3}{2}(1-p)^2\,p+\binom{3}{3}(1-p)^3 =3\,(1-p)^2p+(1-p)^3.
Queremos
3\,(1-p)^2p+(1-p)^3>1-p.

Passo 5

Para resolver
(1-p)^2\bigl[3p+(1-p)\bigr]>1-p \;\Longrightarrow\; (1-p)^2(1+2p)>1-p,
dividimos ambos os lados por 1-p (válido para p\neq1) e obtemos
(1-p)(1+2p)>1 \;\Longrightarrow\; 1+2p-p-2p^2>1 \;\Longrightarrow\; p(1-2p)>0.
Como p\in[0,1], isso ocorre exatamente quando
0<p<\tfrac12.

Resposta

a) p<\tfrac{2}{3}.
b) 0<p<\tfrac12.

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