8 - (Problema de Huygens) Dois jogadores, A e B, jogam dados. Cada um joga um par de dados em sua vez, observando a soma dos valores; se A fizer seis pontos antes de B fazer sete, A ganha - senão, B ganha. Considere que A começa a jogar.
a) Encontre a função de probabilidade da variável aleatória N que conta o total de rodadas jogadas até o jogo terminar;
b) Qual é sua probabilidade de A vencer o jogo?
Passo 1
O enunciado diz que dois jogadores A e B alternam jogadas de um par de dados até que A obtenha soma igual a 6 antes de B obter soma igual a 7 (nesse caso A ganha), ou então B ganha. A começa jogando. Cada jogada é um “lançamento” único de dois dados por um dos jogadores, e N conta o número total de lançamentos até o fim do jogo. Para resolver, vamos usar noções de variáveis geométricas e de probabilidade condicionada em processos alternados.
Passo 2
Calculemos as probabilidades de sucesso numa jogada de cada jogador: \displaystyle p = P(\text{A faz 6}) = \tfrac{5}{36}, \displaystyle q = P(\text{B faz 7}) = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}.
As probabilidades de fracasso em cada lançamento são 1-p e 1-q. Definimos
r = (1-p)\,(1-q)
como a probabilidade de que numa rodada completa (A joga e depois B joga) nenhum acerte.
Passo 3
Para A vencer no seu k-ésimo lançamento, é preciso que nas k-1 rodadas anteriores nem A nem B tenham acertado, e então A acerta. Esse acontecimento corresponde a N=2k-1 lançamentos totais. Logo, para k=1,2,\dots,
Para B vencer no seu k-ésimo lançamento, nas k-1 rodadas anteriores ninguém acerta, depois A fracassa na rodada k e então B acerta. Isso dá N=2k. Assim, para k=1,2,\dots,
P\bigl(N=2k\bigr) = r^{\,k-1}\,(1-p)\,q.
Passo 5
A probabilidade de A vencer é a soma das massas de N em valores ímpares:
a) Definindo p=\tfrac{5}{36}\), \(q=\tfrac{1}{6}\), \(r=(1-p)(1-q)\), a função de probabilidade de \(N\) é
\[P(N=n)= \begin{cases} r^{\,k-1}\,p, & \text{se }n=2k-1,\;k=1,2,\dots,\\[6pt] r^{\,k-1}\,(1-p)\,q, & \text{se }n=2k,\;k=1,2,\dots,\\[3pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}