Um atirador acerta na mosca do alvo 20 % dos tiros.
Se ele dá 10 tiros, qual é a probabilidade de ele acertar na mosca exatamente 1 vez.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um atirador que acerta a mosca do alvo em 20% dos tiros que faz. Ele vai dar 10 tiros no total. A pergunta é: qual a chance dele acertar exatamente 1 vez a mosca?
Aqui, vamos usar conceitos de probabilidade e, mais especificamente, distribuição binomial. Isso ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (neste caso, acertos) em uma sequência de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os valores que vamos usar na fórmula da distribuição binomial. A fórmula é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (10 tiros).
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos (1 acerto).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (20%, ou 0.2).
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.

Passo 3

Vamos calcular $ C(n, k) $, que é o número de maneiras diferentes de escolher 1 acerto em 10 tiros. A fórmula para combinações é:
C(n, k)
Substituindo os valores:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Então, existem 10 maneiras de acertar exatamente 1 vez nos 10 tiros.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial com os valores que temos:
P(1) = C(10, 1) times (0.2)^1 times (0.8)^10 - 1
Substituindo:
P(1) = 10 times 0.2 times 0.8^9

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. $ 10 \times 0.2 = 2 $
  2. $ 0.8^9 \approx 0.1342 $ (usando uma calculadora)
Então:
10 times 0.2 = 2

Resposta

A probabilidade de o atirador acertar exatamente 1 vez em 10 tiros é de aproximadamente 26,8%.

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