Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3 , qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade. O problema diz que a probabilidade de acertar um alvo em um único disparo é 0,3. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em 4 disparos, o alvo seja acertado pelo menos 3 vezes. Para isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades em situações com resultados de sucesso ou fracasso em tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 3 vezes”. Isso inclui duas possibilidades: acertar exatamente 3 vezes ou acertar exatamente 4 vezes. Portanto, precisamos calcular a probabilidade dessas duas situações e depois somá-las.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de acertar exatamente 3 vezes em 4 disparos. A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (no caso, 4 disparos),
  • $ k $ é o número de sucessos (acertos),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,3),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos ter 3 acertos em 4 disparos.

Passo 4

Calculando o coeficiente binomial para $ k = 3 $:
k = 3

Passo 5

Agora, aplicando na fórmula:
P(X = 3) = 4 cdot (0,3)^3 cdot (0,7)^1 = 4 cdot 0,027 cdot 0,7 = 4 cdot 0,0189 = 0,0756

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de acertar exatamente 4 vezes em 4 disparos.
binom44 = 1
P(X = 4) = 1 cdot (0,3)^4 cdot (0,7)^0 = 1 cdot 0,0081 cdot 1 = 0,0081

Passo 7

Finalmente, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade de acertar pelo menos 3 vezes:
P(X >= 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0756 + 0,0081 = 0,0837

Resposta

A probabilidade de acertar o alvo pelo menos 3 vezes em 4 disparos é de aproximadamente 0,0837 ou 8,37%.

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