Uma caixa contém 15 peças das quais 4 estão com defeito. Retira-se uma amostra de 3 peças da caixa sem reposição. Calcular a probabilidade de que haja duas ou três peças defeituosas na amostra.

Passo 1

Então, temos uma caixa com 15 peças, das quais 4 estão com defeito. Queremos retirar 3 peças dessa caixa sem colocar de volta e calcular a probabilidade de que, nessa amostra, tenham 2 ou 3 peças defeituosas. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes podemos escolher 3 peças dentre as 15 disponíveis. Isso é calculado usando combinações, que nos dizem de quantas formas podemos selecionar itens sem considerar a ordem. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 15 $ e $ k = 3 $, então:
n = 15
Então, existem 455 maneiras diferentes de escolher 3 peças das 15.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar exatamente 2 peças defeituosas e 1 não defeituosa.
Número de maneiras de escolher 2 defeituosas entre as 4 disponíveis:
C(4, 2) = 4!2!(4 - 2)! = 4 times 32 times 1 = 6
Número de maneiras de escolher 1 não defeituosa entre as 11 disponíveis (15 totais menos 4 defeituosas):
C(11, 1) = 11
Então, o número de combinações com 2 defeituosas e 1 não defeituosa é:
6 times 11 = 66
A probabilidade de ocorrer esse evento é:
P(2 defeituosas) = 66455 approx 0,145

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar exatamente 3 peças defeituosas.
Número de maneiras de escolher 3 defeituosas entre as 4 disponíveis:
C(4, 3) = 4!3!(4 - 3)! = 41 = 4
Como todas as 3 peças são defeituosas, não precisamos escolher peças não defeituosas.
A probabilidade de ocorrer esse evento é:
P(3 defeituosas) = 4455 approx 0,009

Resposta

A probabilidade de que haja duas ou três peças defeituosas na amostra é aproximadamente 0,145 + 0,009 = 0,154, ou seja, 15,4%.

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