Joga-se uma moeda não viciada. Qual é a probabilidade de serem obtidas cinco caras antes de três coroas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é o seguinte: jogamos uma moeda que não é viciada, ou seja, ela tem a mesma chance de dar cara ou coroa. A pergunta é: qual é a probabilidade de saírem cinco caras antes que saiam três coroas? Vamos usar conceitos de probabilidade e processos estocásticos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “cinco caras antes de três coroas”. Isso significa que a gente quer contar todas as sequências possíveis de jogadas onde a quinta cara aparece antes que a terceira coroa apareça. Para isso, vamos definir uma função que nos ajuda a calcular essa probabilidade.
Passo 3
Vamos chamar de $ p(m, n) $ a probabilidade de conseguir $ m $ caras antes de $ n $ coroas. No nosso caso, queremos $ p(5, 3) $. Agora, cada vez que jogamos a moeda, há duas possibilidades: sair cara ou coroa, cada uma com probabilidade de $ \frac{1}{2} $.
Passo 4
A partir daqui, podemos estabelecer uma relação de recorrência. Isso significa que a probabilidade de conseguir $ m $ caras antes de $ n $ coroas pode ser expressa em termos das probabilidades de conseguir $ m-1 $ caras antes de $ n $ coroas (caso saia cara) e de conseguir $ m $ caras antes de $ n-1 $ coroas (caso saia coroa). Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos definir as condições de contorno para resolver essa relação. Se já conseguimos as cinco caras, independente do número de coroas que já saíram, a probabilidade é 1. Ou seja, $ p(0, n) = 1 $ para qualquer $ n $. Por outro lado, se já saíram três coroas antes de conseguimos cinco caras, a probabilidade é 0. Ou seja, $ p(m, 0) = 0 $ para qualquer $ m $.
Passo 6
Vamos resolver essa relação passo a passo. Começamos com os casos mais simples:
- $ p(0, n) = 1 $
- $ p(m, 0) = 0 $
E usamos a relação de recorrência para calcular os demais valores até chegar em $ p(5, 3) $.
Por exemplo:
Fazendo esses cálculos passo a passo até $ p(5, 3) $, a gente chega na resposta final.
Passo 7
Após calcular todas as probabilidades intermediárias utilizando a relação de recorrência, encontramos que a probabilidade de obter cinco caras antes de três coroas é:
Resposta
A probabilidade de obter cinco caras antes de três coroas é $ \frac{8}{11} $.