Uma comissão de cinco membros deve ser escolhida de um grupo formado por 12 mulheres e 18 homens. Se a comissão escolhida é formada por 5 homens, existe alguma razão para se suspeitar da lisura do processo de escolha?
Suponha que seja estabelecida a seguinte regra: se a probabilidade de se obter uma comissão formada apenas por homens for muito pequena, menor que 0,01 , o processo será considerado fraudulento e uma nova comissão deverá ser escolhida. Qual é a conclusão nesse caso?

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um grupo com 12 mulheres e 18 homens, totalizando 30 pessoas. A comissão que vamos escolher precisa ter 5 membros. A pergunta é: se essa comissão for formada apenas por homens, temos algum motivo para achar que o processo de escolha não foi justo? Para resolver isso, vamos calcular a probabilidade de selecionar 5 homens dessa turma e ver se essa chance é muito pequena (menor que 0,01). Se for, consideramos que o processo pode ser fraudulento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a probabilidade de escolher 5 homens entre os 18 disponíveis, considerando que estamos escolhendo 5 pessoas de um total de 30. Isso envolve combinações, que são maneiras de escolher um grupo sem se importar com a ordem.
A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • $ n $ é o número total de itens,
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 3

Vamos calcular o total de maneiras de escolher 5 pessoas entre as 30:
C(30, 5) = 30!5!(30 - 5)! = 30!5! cdot 25!
Esse será o nosso denominador na probabilidade.

Passo 4

Agora, calculamos o número de maneiras de escolher 5 homens entre os 18 disponíveis:
C(18, 5) = 18!5!(18 - 5)! = 18!5! cdot 13!
Esse será o nosso numerador na probabilidade.

Passo 5

A probabilidade de escolher uma comissão composta apenas por homens é a razão entre as combinações de escolher 5 homens e as combinações de escolher quaisquer 5 pessoas:
P = C(18, 5)C(30, 5)
Vamos calcular isso:
Primeiro, calculamos $ C(18, 5) $:
C(18, 5)
Em seguida, calculamos $ C(30, 5) $:
C(18, 5) = 18 times 17 times 16 times 15 times 145 times 4 times 3 times 2 times 1 = 8568
Então, a probabilidade é:
C(30, 5)

Passo 6

Agora, comparamos essa probabilidade com o limite estabelecido de 0,01. Temos que 0,0601 é maior que 0,01.

Resposta

Como a probabilidade de formar uma comissão composta apenas por homens é aproximadamente 0,0601 (ou 6,01%), que é maior que 0,01 (1%), não há motivos para suspeitar da lisura do processo de escolha.

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