Uma comissão de cinco membros deve ser escolhida de um grupo formado por 12 mulheres e 18 homens. Se a comissão escolhida é formada por 5 homens, existe alguma razão para se suspeitar da lisura do processo de escolha?
Suponha que seja estabelecida a seguinte regra: se a probabilidade de se obter uma comissão formada apenas por homens for muito pequena, menor que 0,01 , o processo será considerado fraudulento e uma nova comissão deverá ser escolhida. Qual é a conclusão nesse caso?
Suponha que seja estabelecida a seguinte regra: se a probabilidade de se obter uma comissão formada apenas por homens for muito pequena, menor que 0,01 , o processo será considerado fraudulento e uma nova comissão deverá ser escolhida. Qual é a conclusão nesse caso?
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um grupo com 12 mulheres e 18 homens, totalizando 30 pessoas. A comissão que vamos escolher precisa ter 5 membros. A pergunta é: se essa comissão for formada apenas por homens, temos algum motivo para achar que o processo de escolha não foi justo? Para resolver isso, vamos calcular a probabilidade de selecionar 5 homens dessa turma e ver se essa chance é muito pequena (menor que 0,01). Se for, consideramos que o processo pode ser fraudulento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a probabilidade de escolher 5 homens entre os 18 disponíveis, considerando que estamos escolhendo 5 pessoas de um total de 30. Isso envolve combinações, que são maneiras de escolher um grupo sem se importar com a ordem.
A fórmula para combinações é:
onde:
- $ n $ é o número total de itens,
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos,
- $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 3
Vamos calcular o total de maneiras de escolher 5 pessoas entre as 30:
Esse será o nosso denominador na probabilidade.
Passo 4
Agora, calculamos o número de maneiras de escolher 5 homens entre os 18 disponíveis:
Esse será o nosso numerador na probabilidade.
Passo 5
A probabilidade de escolher uma comissão composta apenas por homens é a razão entre as combinações de escolher 5 homens e as combinações de escolher quaisquer 5 pessoas:
Vamos calcular isso:
Primeiro, calculamos $ C(18, 5) $:
Em seguida, calculamos $ C(30, 5) $:
Então, a probabilidade é:
Passo 6
Agora, comparamos essa probabilidade com o limite estabelecido de 0,01. Temos que 0,0601 é maior que 0,01.
Resposta
Como a probabilidade de formar uma comissão composta apenas por homens é aproximadamente 0,0601 (ou 6,01%), que é maior que 0,01 (1%), não há motivos para suspeitar da lisura do processo de escolha.