Um atirador acerta na mosca do alvo 20 \% dos tiros.
a) Qual é a probabilidade de ele acertar na mosca pela primeira vez no decimo tiro.
b) Se ele dá 10 tiros, qual é a probabilidade de ele acertar na mosca exatamente 1 vez .

Passo 1

O enunciado diz que um atirador acerta a mosca do alvo com probabilidade p=0,2 em cada tiro, independentemente dos outros. Ele faz vários tiros e queremos duas coisas:
  • (a) a probabilidade de que o primeiro acerto ocorra exatamente no 10.º tiro;
  • (b) a probabilidade de, em 10 tiros, ocorrer exatamente 1 acerto.
    Para isso usamos duas leis de probabilidade: a distribuição geométrica (para o primeiro acerto) e a distribuição binomial (para um número fixo de tiros).

Passo 2

Para o item (a) modelamos o número de tiros até o primeiro acerto por uma variável aleatória X de distribuição geométrica com parâmetro p. A fórmula é
P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p,
onde (1-p) é a probabilidade de falhar cada tiro antes do tiro k.

Passo 3

Aplicando em k=10 e p=0,2, temos
P(X=10) = (1-0,2)^{10-1}\cdot 0,2 = (0,8)^9\cdot 0,2.
Calculando numericamente, (0,8)^9\approx0,1342177, logo
P(X=10)\approx0,1342177\times0,2=0,0268435\approx0,02684.

Passo 4

Para o item (b) modelamos o número de acertos em 10 tiros por uma variável aleatória Y de distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,2. A fórmula é
P(Y = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.

Passo 5

Queremos exatamente k=1 acerto em n=10. Então
P(Y=1) = \binom{10}{1}\,(0,2)^1\,(0,8)^{9}.
Como \binom{10}{1}=10, fica
P(Y=1)=10\cdot0,2\cdot(0,8)^9.
Usando (0,8)^9\approx0,1342177, obtemos
P(Y=1)\approx10\cdot0,2\cdot0,1342177=0,2684354\approx0,26844.

Resposta

(a) \displaystyle P(\text{primeiro acerto no 10.º tiro})=(0,8)^9\cdot0,2\approx0,02684º.
(b) \displaystyle P(\text{exatamente 1 acerto em 10 tiros})=10\cdot0,2\cdot(0,8)^9\approx0,26844.

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