Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{n^{5}-5}{n^{5}+6}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n} = \frac{n^{5}-5}{n^{5}+6}
converge ou diverge quando n \to \infty. O conteúdo aqui é limite de sequência racional, e vamos usar a ideia de fatorar o maior grau em n no numerador e denominador.

Passo 2

Fatoramos n^{5} no numerador e no denominador para evidenciar os termos que tendem a zero:
a_{n} = \frac{n^{5}\bigl(1 - \tfrac{5}{n^{5}}\bigr)}{n^{5}\bigl(1 + \tfrac{6}{n^{5}}\bigr)} = \frac{1 - \tfrac{5}{n^{5}}}{1 + \tfrac{6}{n^{5}}}.

Passo 3

Quando n \to \infty, os termos \tfrac{5}{n^{5}} e \tfrac{6}{n^{5}} vão a zero. Logo,
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \tfrac{5}{n^{5}}\Bigr) = 1, \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \tfrac{6}{n^{5}}\Bigr) = 1.
Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 1.

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