Exercício . 3 Um tanque contém 5000 litros de água pura. Uma mistura contendo 750 g de sal diluídos em 25 litros de água é bombeada para o tanque a cada minuto. Investigue como se comporta a concentração da solução no tanque para valores de tempo “muito grandes”

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura em que um tanque de volume constante V=5000 L, inicialmente com água pura (sem sal), recebe um afluxo de 25 L/min de uma solução contendo 750 g de sal em cada 25 L. O que queremos é modelar a variação da massa de sal no tanque e investigar o comportamento da concentração quando t\to\infty. O conteúdo principal aqui é a equação diferencial de primeira ordem para processos de mistura.

Passo 2

Definimos y(t) como a massa de sal (em gramas) no tanque no instante t (em minutos). A variação \tfrac{dy}{dt} é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal.
A taxa de entrada de sal é
\text{entrada} = \frac{750\\ \text{g}}{25\\ \text{L}}\times 25\\ \frac{\text{L}}{\text{min}} = 750\\ \frac{\text{g}}{\text{min}}.
Como o volume é sempre V=5000 L, a concentração interna é \tfrac{y(t)}{5000} g/L e o fluxo de saída é 25 L/min. Logo,
\text{saída} = \frac{y(t)}{5000}\\ \frac{\text{g}}{\text{L}}\times 25\\ \frac{\text{L}}{\text{min}} = \frac{25}{5000}\,y(t)\\ \frac{\text{g}}{\text{min}} = \frac{1}{200}\,y(t).í
Portanto, a equação diferencial é
\frac{dy}{dt} = 750 - \frac{1}{200}\,y.

Passo 3

A equação obtida é linear de coeficiente constante:
\frac{dy}{dt} + \frac{1}{200}\,y = 750.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int \tfrac{1}{200}\,dt\Bigr)=e^{t/200}.
Multiplicando ambos os lados por \mu(t) obtém-se
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/200}\bigr) = 750\,e^{t/200}.
Integrando em t:
y(t)\,e^{t/200} = 750\int e^{t/200}\,dt = 750\cdot 200\,e^{t/200} + C =150000\,e^{t/200} + C.
Logo a solução geral é
y(t) = 150000 + C\,e^{-t/200}.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=0 (tanque inicialmente sem sal):
0 = y(0) = 150000 + C\cdot e^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = -150000.
Portanto,
y(t)=150000\bigl(1 - e^{-t/200}\bigr).
A concentração no tanque é
c(t)=\frac{y(t)}{5000} = \frac{150000}{5000}\bigl(1 - e^{-t/200}\bigr) =30\bigl(1 - e^{-t/200}\bigr)\quad\frac{\text{g}}{\text{L}}.

Passo 5

Para t\to\infty temos e^{-t/200}\to 0, logo
\lim_{t\to\infty}c(t) = 30\\ \frac{\text{g}}{\text{L}}.
Isso mostra que, quando o tempo é muito grande, a concentração no tanque tende exatamente à concentração da solução que entra, isto é, 30 g/L.

Resposta

Para t\to\infty, a concentração da solução no tanque tende a 30 g/L.

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