Exercício . 3 Um tanque contém 5000 litros de água pura. Uma mistura contendo 750 g de sal diluídos em 25 litros de água é bombeada para o tanque a cada minuto. Investigue como se comporta a concentração da solução no tanque para valores de tempo “muito grandes”
Passo 1
O enunciado trata de um problema de mistura em que um tanque de volume constante
L, inicialmente com água pura (sem sal), recebe um afluxo de
L/min de uma solução contendo
g de sal em cada
L. O que queremos é modelar a variação da massa de sal no tanque e investigar o comportamento da concentração quando
. O conteúdo principal aqui é a equação diferencial de primeira ordem para processos de mistura.
Passo 2
Definimos
como a massa de sal (em gramas) no tanque no instante
(em minutos). A variação
é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal.
A taxa de entrada de sal é
A taxa de entrada de sal é
Como o volume é sempre
L, a concentração interna é
g/L e o fluxo de saída é
L/min. Logo,
Portanto, a equação diferencial é
Passo 3
A equação obtida é linear de coeficiente constante:
O fator integrante é
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Integrando em
:
Logo a solução geral é
Passo 4
Usamos a condição inicial
(tanque inicialmente sem sal):
Portanto,
A concentração no tanque é
Passo 5
Para
temos
, logo
Isso mostra que, quando o tempo é muito grande, a concentração no tanque tende exatamente à concentração da solução que entra, isto é,
g/L.
Resposta
Para
, a concentração da solução no tanque tende a
g/L.