Um atirador aponta sua arma para um alvo dependurado num galho. O alvo está a uma distância horizontal
e a uma altura
da ponta da arma do atirador. No exato momento do disparo, o alvo cai. Mostre que: a) a bala atinge o alvo; b) se a velocidade inicial da bala é
, o tempo necessário para a bala atingir o alvo é expresso por
.
Passo 1
O enunciado diz: um atirador aponta a arma diretamente para um alvo que está a uma distância horizontal
, e a uma altura
, acima da ponta da arma. No instante do disparo o alvo solta-se e começa a cair verticalmente. A velocidade inicial da bala é
.\n\nO que o exercício pede:\n(a) Mostrar que a bala atinge o alvo mesmo que o alvo comece a cair no instante do tiro.\n(b) Mostrar que o tempo necessário para a bala atingir o alvo é
.\n\nInformações relevantes dadas:\n- Distância horizontal entre arma e alvo:
.\n- Altura vertical do alvo em relação à ponta da arma:
.\n- Velocidade inicial da bala:
.\n- No instante do disparo, o alvo começa a cair verticalmente a partir do repouso (velocidade vertical inicial zero).\n- Pressupomos que não há resistência do ar e que a única aceleração que age é a gravidade, com módulo
, para baixo.\n\nA partir daqui vamos resolver passo a passo e eu vou explicar a física e a matemática necessárias para entender cada etapa.
Passo 2
Escolher um sistema de referência e decompor a velocidade inicial da bala.\n\nColoco a origem no ponto da ponta da arma, com o eixo
horizontal apontando para o alvo e o eixo
vertical apontando para cima. Assim a posição inicial da bala é
(origem) e a posição inicial do alvo é
.\n\nComo o atirador aponta a arma exatamente na direção do alvo no instante do disparo, a velocidade inicial da bala tem direção que vai da origem até
. Denoto o ângulo dessa direção por
, com\n
\n\nExplico a decomposição da velocidade: qualquer vetor de velocidade pode ser escrito em componentes horizontal e vertical usando seno e cosseno do ângulo com a horizontal. Assim as componentes da velocidade inicial da bala são\n
\n\nTambém convém escrever
e
em termos de
e
. A hipotenusa do triângulo com catetos
e
é
. Portanto
Passo 3
Equações do movimento da bala (movimento do projétil) — ensinar a fórmula usada.\n\nPara o movimento de um projétil sem resistência do ar temos duas propriedades importantes:\n- No eixo horizontal (
) não há aceleração (assumindo ausência de resistência do ar), então a velocidade horizontal é constante. A posição horizontal segue a lei da velocidade constante:\n
\n- No eixo vertical (
) existe aceleração constante para baixo igual a
. A posição vertical segue a equação do movimento uniformemente acelerado:\n
\n\nAplicando ao nosso problema, com
e
, e usando
e
do passo anterior, obtemos as equações da bala:\n
\n
Passo 4
Equações do movimento do alvo que cai.\n\nO alvo, no instante do disparo, está em
e começa a cair verticalmente a partir do repouso. Como não recebe impulso horizontal, sua coordenada horizontal permanece constante:\n
\nA coordenada vertical cai com aceleração
e velocidade inicial zero, logo\n
Passo 5
Encontrar o tempo em que as abscissas (coordenadas
) da bala e do alvo coincidem.\n\nPara que haja colisão é necessário que em algum tempo
as duas coordenadas
e
sejam iguais:
e
.\n\nComeço igualando as abscissas:\n
\nResolvo para
:\n
\nSubstituo
(do passo 2):\n
\n\nPortanto obtemos a expressão pedida para o tempo. Isso resolve a parte (b) — o tempo para a bala percorrer até a vertical do alvo é exatamente
.
Passo 6
Mostrar que, nesse mesmo tempo, as ordenadas (coordenadas
) também coincidem — prova de que a bala atinge o alvo (parte a).\n\nPegamos o tempo
e substituímos em
. Usamos
:\n
\nO produto
simplifica para
. Então\n
\nMas essa expressão é exatamente a posição vertical do alvo
(ver passo 4). Logo, no tempo
calculado as coordenadas
e
da bala e do alvo coincidem simultaneamente. Portanto a bala atinge o alvo.
Passo 7
Interpretação física e resumo didático (motivação para a prova).\n\nO porquê físico intuitivo: quando você aponta para o alvo, a componente vertical inicial da velocidade da bala é exatamente a necessária para que, se não houvesse gravidade, a bala fosse na direção do alvo. Quando a gravidade é ligada, tanto a bala quanto o alvo passam a acelerar para baixo com a mesma aceleração
. Assim, a queda vertical do alvo e a queda vertical adicional da bala (devido à gravidade) são as mesmas no mesmo intervalo de tempo; portanto, desde que a bala alcance a mesma abscissa horizontal do alvo no mesmo instante, a queda vertical relativa é a mesma e ocorre a colisão. Esse argumento lógico é o mesmo que mostramos com as equações.\n\nDica prática para prova: ao ver esse tipo de problema, pense em decompor a velocidade inicial e igualar primeiro as posições horizontais (porque o alvo geralmente mantém
). Isso fornece direto o tempo, que você substitui nas equações verticais para checar a igualdade.
Resposta
a) Sim — a bala atinge o alvo.
b)
b)