Um atirador aponta sua arma para um alvo dependurado num galho. O alvo está a uma distância horizontal d e a uma altura h da ponta da arma do atirador. No exato momento do disparo, o alvo cai. Mostre que: a) a bala atinge o alvo; b) se a velocidade inicial da bala é v_{o}, o tempo necessário para a bala atingir o alvo é expresso por t=\frac{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}{v_{o}}.

Passo 1

O enunciado diz: um atirador aponta a arma diretamente para um alvo que está a uma distância horizontal \,d, e a uma altura \,h, acima da ponta da arma. No instante do disparo o alvo solta-se e começa a cair verticalmente. A velocidade inicial da bala é \,v_{0}.\n\nO que o exercício pede:\n(a) Mostrar que a bala atinge o alvo mesmo que o alvo comece a cair no instante do tiro.\n(b) Mostrar que o tempo necessário para a bala atingir o alvo é \;t=\dfrac{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}{v_{0}}.\n\nInformações relevantes dadas:\n- Distância horizontal entre arma e alvo: \,d.\n- Altura vertical do alvo em relação à ponta da arma: \,h.\n- Velocidade inicial da bala: \,v_{0}.\n- No instante do disparo, o alvo começa a cair verticalmente a partir do repouso (velocidade vertical inicial zero).\n- Pressupomos que não há resistência do ar e que a única aceleração que age é a gravidade, com módulo \,g, para baixo.\n\nA partir daqui vamos resolver passo a passo e eu vou explicar a física e a matemática necessárias para entender cada etapa.

Passo 2

Escolher um sistema de referência e decompor a velocidade inicial da bala.\n\nColoco a origem no ponto da ponta da arma, com o eixo x horizontal apontando para o alvo e o eixo y vertical apontando para cima. Assim a posição inicial da bala é (0,0) (origem) e a posição inicial do alvo é (d,h).\n\nComo o atirador aponta a arma exatamente na direção do alvo no instante do disparo, a velocidade inicial da bala tem direção que vai da origem até (d,h). Denoto o ângulo dessa direção por \theta, com\n \theta = \arctan\!\left(\frac{h}{d}\right).\n\nExplico a decomposição da velocidade: qualquer vetor de velocidade pode ser escrito em componentes horizontal e vertical usando seno e cosseno do ângulo com a horizontal. Assim as componentes da velocidade inicial da bala são\n v_{0x} = v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.\n\nTambém convém escrever \cos\theta e \sin\theta em termos de d e h. A hipotenusa do triângulo com catetos d e h é \sqrt{h^{2}+d^{2}}. Portanto
\cos\theta = \frac{d}{\sqrt{h^{2}+d^{2}}},\qquad \sin\theta = \frac{h}{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}.

Passo 3

Equações do movimento da bala (movimento do projétil) — ensinar a fórmula usada.\n\nPara o movimento de um projétil sem resistência do ar temos duas propriedades importantes:\n- No eixo horizontal ( x) não há aceleração (assumindo ausência de resistência do ar), então a velocidade horizontal é constante. A posição horizontal segue a lei da velocidade constante:\n x(t)=x_{0}+v_{0x}\,t.\n- No eixo vertical ( y) existe aceleração constante para baixo igual a -g. A posição vertical segue a equação do movimento uniformemente acelerado:\n y(t)=y_{0}+v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.\n\nAplicando ao nosso problema, com x_{0}=0 e y_{0}=0, e usando v_{0x} e v_{0y} do passo anterior, obtemos as equações da bala:\n x_{b}(t)=v_{0}\cos\theta\;t,\n y_{b}(t)=v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.

Passo 4

Equações do movimento do alvo que cai.\n\nO alvo, no instante do disparo, está em (d,h) e começa a cair verticalmente a partir do repouso. Como não recebe impulso horizontal, sua coordenada horizontal permanece constante:\n x_{t}(t)=d.\nA coordenada vertical cai com aceleração -g e velocidade inicial zero, logo\n y_{t}(t)=h-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.

Passo 5

Encontrar o tempo em que as abscissas (coordenadas x) da bala e do alvo coincidem.\n\nPara que haja colisão é necessário que em algum tempo t as duas coordenadas x e y sejam iguais: x_{b}(t)=x_{t}(t) e y_{b}(t)=y_{t}(t).\n\nComeço igualando as abscissas:\n v_{0}\cos\theta\;t = d.\nResolvo para t:\n t = \frac{d}{v_{0}\cos\theta}.\nSubstituo \cos\theta = \dfrac{d}{\sqrt{h^{2}+d^{2}}} (do passo 2):\n t = \frac{d}{v_{0}\,\dfrac{d}{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}} = \frac{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}{v_{0}}.\n\nPortanto obtemos a expressão pedida para o tempo. Isso resolve a parte (b) — o tempo para a bala percorrer até a vertical do alvo é exatamente \;t=\dfrac{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}{v_{0}}.

Passo 6

Mostrar que, nesse mesmo tempo, as ordenadas (coordenadas y) também coincidem — prova de que a bala atinge o alvo (parte a).\n\nPegamos o tempo t=\dfrac{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}{v_{0}} e substituímos em y_{b}(t). Usamos \sin\theta = \dfrac{h}{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}:\n y_{b}(t)=v_{0}\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2} = v_{0}\cdot\frac{h}{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}\cdot\frac{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}{v_{0}}-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.\nO produto v_{0}\cdot\dfrac{h}{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}\cdot\dfrac{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}{v_{0}} simplifica para h. Então\n y_{b}(t)=h-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.\nMas essa expressão é exatamente a posição vertical do alvo y_{t}(t) (ver passo 4). Logo, no tempo t calculado as coordenadas x e y da bala e do alvo coincidem simultaneamente. Portanto a bala atinge o alvo.

Passo 7

Interpretação física e resumo didático (motivação para a prova).\n\nO porquê físico intuitivo: quando você aponta para o alvo, a componente vertical inicial da velocidade da bala é exatamente a necessária para que, se não houvesse gravidade, a bala fosse na direção do alvo. Quando a gravidade é ligada, tanto a bala quanto o alvo passam a acelerar para baixo com a mesma aceleração g. Assim, a queda vertical do alvo e a queda vertical adicional da bala (devido à gravidade) são as mesmas no mesmo intervalo de tempo; portanto, desde que a bala alcance a mesma abscissa horizontal do alvo no mesmo instante, a queda vertical relativa é a mesma e ocorre a colisão. Esse argumento lógico é o mesmo que mostramos com as equações.\n\nDica prática para prova: ao ver esse tipo de problema, pense em decompor a velocidade inicial e igualar primeiro as posições horizontais (porque o alvo geralmente mantém x=d). Isso fornece direto o tempo, que você substitui nas equações verticais para checar a igualdade.

Resposta

a) Sim — a bala atinge o alvo.
b) \;t=\dfrac{\sqrt{h^{2}+d^{2}}}{v_{0}}

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