Um atirador de elite está armado de um fuzil AK-47 em ângulo de 60 graus em relação ao horizonte e a uma altura de um metro em relação ao solo (ele está agachado). Porém, a arma não funciona como esperado e o projétil sai a
. Desprezando a resistência do ar, determine:
o intervalo de tempo após o disparo no qual um ser humano parado pode ser atingido pelo projétil sem grandes consequências.
(Adote
para a aceleração da gravidade e suponha que uma pessoa suporte, sem grandes consequências, receber projéteis a até
.)
o intervalo de tempo após o disparo no qual um ser humano parado pode ser atingido pelo projétil sem grandes consequências.
(Adote
Passo 1
Beleza, o problema é de lançamento oblíquo (cinemática sem resistência do ar). O enunciado diz:
- Um projétil sai a 432 km/h, ângulo de 60° acima da horizontal, e altura inicial de 1 m.
- Aceleração da gravidade g = 10 m/s².
- Queremos saber em que intervalo de tempo a velocidade do projétil fica abaixo de 180 km/h (para não causar grandes consequências).
O que vamos usar:
- Conversão de unidades (km/h → m/s).
- Decomposição da velocidade inicial em vx e vy.
- Expressão da velocidade em função do tempo:
vx(t) = constante,
vy(t) = v0·sin θ − g·t,
v(t) = √[vx² + vy(t)²]. - Resolver a desigualdade v(t) ≤ 180 km/h.
Passo 2
Primeiro, converte tudo pra m/s:
v0 = 432 km/h = 432/3.6 = 120 m/s
v_lim = 180 km/h = 180/3.6 = 50 m/s
v0 = 432 km/h = 432/3.6 = 120 m/s
v_lim = 180 km/h = 180/3.6 = 50 m/s
Passo 3
Decompondo a velocidade inicial:
vx = v0·cos 60° = 120·0.5 = 60 m/s (constante)
vy(t) = v0·sin 60° − g·t = 120·(√3/2) − 10·t = 60√3 − 10t ≈ 103,92 − 10t
vx = v0·cos 60° = 120·0.5 = 60 m/s (constante)
vy(t) = v0·sin 60° − g·t = 120·(√3/2) − 10·t = 60√3 − 10t ≈ 103,92 − 10t
Então a velocidade em módulo é
v(t) = √[vx² + vy(t)²] = √[60² + (60√3 − 10t)²].
v(t) = √[vx² + vy(t)²] = √[60² + (60√3 − 10t)²].
Passo 4
Impor v(t) ≤ v_lim = 50 m/s:
√[60² + (60√3 − 10t)²] ≤ 50
Eleva ao quadrado:
60² + (60√3 − 10t)² ≤ 50²
3600 + (60√3 − 10t)² ≤ 2500
(60√3 − 10t)² ≤ 2500 − 3600 = −1100
√[60² + (60√3 − 10t)²] ≤ 50
Eleva ao quadrado:
60² + (60√3 − 10t)² ≤ 50²
3600 + (60√3 − 10t)² ≤ 2500
(60√3 − 10t)² ≤ 2500 − 3600 = −1100
Mas isso não bate: o quadrado de qualquer real é ≥ 0 e não pode ser ≤ –1100.
Passo 5
Como a parte à esquerda nunca fica negativa, não existe tempo t em que a velocidade seja ≤ 50 m/s. Isso faz sentido: sem resistência do ar, vx = 60 m/s é constante, e 60 m/s já é maior que 50 m/s.
Resposta
Não há nenhum instante de tempo em que o projétil atinja o ser humano com velocidade inferior a 180 km/h. Portanto, o intervalo de tempo é vazio.