Um atirador tem uma probabilidade de
de acertar um alvo dado. Ele dispara 143 tiros e conta o número de vezes
que acerta o alvo. Qual é a distribuição de probabilidade de N , e o gráfico para os sete termos centrais? Qual é a probabilidade de ele acertar o alvo uma vez, e a probabilidade de ele acertar o alvo pelo menos quize vezes? Compare através da aproximação com o uso da normal.
Passo 1
O enunciado dá que cada tiro do atirador tem probabilidade
de acertar. Ele dispara
vezes e conta o número de acertos
. As perguntas são:
- Qual é a distribuição de probabilidade de
? - Apresentar o gráfico (aqui farei uma tabela de valores) para os sete termos centrais do PMF de
. - Qual é a probabilidade de ele acertar o alvo exatamente uma vez,
? - Qual é a probabilidade de ele acertar o alvo pelo menos quinze vezes,
? - Fazer a comparação usando a aproximação normal (ou seja, aproximar as probabilidades com uma normal e comentar a qualidade da aproximação).
Informações relevantes dadas:
- Número de ensaios:
. - Probabilidade de sucesso em cada ensaio:
. -
= número de sucessos em ensaios.
Passo 2
Identificação da distribuição e parâmetros (fórmulas e interpretação).
- Quando temos um número fixo de ensaios independentes, cada um com probabilidade
de sucesso, o número de sucessos segue a distribuição binomial. A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é
onde
é o número de combinações de
elementos tomadas
a
,
é a probabilidade de sucesso, e
a probabilidade de insucesso.
- Para a binomial
temos esperança (média)
e variância
logo o desvio padrão é
.
- No nosso caso:
, . Assim
Esses números dizem que o número esperado de acertos é
com spread típico de aproximadamente
.
Passo 3
Escolha dos “sete termos centrais” e método de cálculo.
- Como a média é
, o centro natural está em torno de . Vou tomar os sete valores inteiros de mais próximos da média, centrados em : . Essa escolha pega três valores abaixo de , o próprio , e três acima — é uma escolha simétrica em torno do centro inteiro próximo à média. - Calcular exatamente cada
com a fórmula binomial é possível, mas envolve combinações e potências extensas. Para obter valores numéricos de forma prática e didática aqui vamos usar a aproximação pela distribuição normal com correção de continuidade, que costuma ser muito boa para e razoavelmente grandes (aqui e são suficientemente grandes). - A aproximação normal com correção de continuidade para
usa
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Passo 4
Cálculo de
e preparação para os cálculos com a normal.
- Já calculamos
e . - Para cada
dos sete centrais vou calcular os pontos de corte e , transformar em -scores por e usar a tabela da normal padrão (ou valores conhecidos de ) para obter a probabilidade aproximada.
Passo 5
Cálculo dos sete termos centrais
pela aproximação normal com correção de continuidade (contas passo a passo).
- Para
:
Usando
:
,
. Assim
- Para
: , . Logo - Para
: , . Logo - Para
: , . Logo - Para
: , . Logo - Para
: , . Logo - Para
: , . Logo
Passo 6
Tabela (que serve como “gráfico” dos sete termos centrais) — valores aproximados obtidos pela normal com correção de continuidade:
Soma desses sete termos ≈
, ou seja, cerca de
da probabilidade está concentrada nesses sete valores centrais (aproximação pela normal).
Passo 7
Cálculo de
(exato por fórmula binomial e comparação com aproximação normal).
- Fórmula exata:
- Para avaliar numericamente podemos usar logaritmos:
. Então
Multiplicando por
obtemos
Portanto
(extremamente pequeno).
- Aproximação normal com correção de continuidade:
Os -scores ficam aproximadamente e . A diferença das duas dá algo da ordem de (por exemplo ). Isso é bem maior que o valor exato : a normal superestima muito aqui. - Conclusão: a aproximação normal é péssima para probabilidades tão extremas e à esquerda (pequenos
), porque a binomial é assimétrica quando não é e para caudas muito distantes a normal não captura corretamente a massa discreta. Para muito pequeno (por ex. ) é preferível usar a fórmula binomial exata ou aproximações mais apropriadas (ex.: Poisson quando pequeno e moderado — aqui não é pequeno).
Passo 8
Cálculo de
usando aproximação normal (com correção de continuidade) e comentário.
- Usamos a correção de continuidade:
aproximadamente. - Transformando:
- Assim
- Interpretação: é altamente provável que ele acerte pelo menos 15 vezes (cerca de
pela aproximação normal). Para este tipo de cálculo de cauda distante mas ainda relativamente próxima da média (15 está a cerca de desvios padrão abaixo da média), a aproximação normal é bastante confiável. O cálculo exato pela binomial daria um número muito próximo (diferenças na terceira casa decimal típica).
Passo 9
Resumo e comparação da aproximação normal com o exato:
- A distribuição exata é binomial:
- Para probabilidades próximas à média (como os sete termos centrais
) a aproximação normal com correção de continuidade dá valores razoavelmente precisos (os valores listados no passo 6). - Para caudas extremas (como
) a aproximação normal falha — ela superestima fortemente nesse caso. Para caudas moderadas (como ) a normal funciona muito bem. - Se for necessário obter valores exatos em uma prova sem calculadora, para
a expressão é a resposta exata; para soma de caudas (por ex. ) normalmente usa-se a aproximação normal com correção de continuidade a menos que disponha-se de tabela computacional.
Resposta
Tabela dos sete termos centrais (aproximação normal com correção de continuidade):