Um atirador tem uma probabilidade de 1 / 5 de acertar um alvo dado. Ele dispara 143 tiros e conta o número de vezes N que acerta o alvo. Qual é a distribuição de probabilidade de N , e o gráfico para os sete termos centrais? Qual é a probabilidade de ele acertar o alvo uma vez, e a probabilidade de ele acertar o alvo pelo menos quize vezes? Compare através da aproximação com o uso da normal.

Passo 1

O enunciado dá que cada tiro do atirador tem probabilidade \tfrac{1}{5} de acertar. Ele dispara 143 vezes e conta o número de acertos N. As perguntas são:
  1. Qual é a distribuição de probabilidade de N?
  2. Apresentar o gráfico (aqui farei uma tabela de valores) para os sete termos centrais do PMF de N.
  3. Qual é a probabilidade de ele acertar o alvo exatamente uma vez, P(N=1)?
  4. Qual é a probabilidade de ele acertar o alvo pelo menos quinze vezes, P(N\ge 15)?
  5. Fazer a comparação usando a aproximação normal (ou seja, aproximar as probabilidades com uma normal e comentar a qualidade da aproximação).
Informações relevantes dadas:
  • Número de ensaios: n=143.
  • Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p=\tfrac{1}{5}=0{,}2.
  • N = número de sucessos em n ensaios.

Passo 2

Identificação da distribuição e parâmetros (fórmulas e interpretação).
  • Quando temos um número fixo de ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso, o número de sucessos N segue a distribuição binomial. A função massa de probabilidade (pmf) da binomial é
P(N=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}
onde \binom{n}{k} é o número de combinações de n elementos tomadas k a k, p é a probabilidade de sucesso, e 1-p a probabilidade de insucesso.
  • Para a binomial \text{Bin}(n,p) temos esperança (média)
\mu = E[N]=np
e variância
\mathrm{Var}(N)=np(1-p),
logo o desvio padrão é \sigma=\sqrt{np(1-p)}.
  • No nosso caso: n=143, p=0{,}2. Assim
\mu = 143\cdot0{,}2 = 28{,}6
\sigma = \sqrt{143\cdot0{,}2\cdot0{,}8} = \sqrt{22{,}88}\approx 4{,}783.
Esses números dizem que o número esperado de acertos é 28{,}6 com spread típico de aproximadamente 4{,}78.

Passo 3

Escolha dos “sete termos centrais” e método de cálculo.
  • Como a média é \mu=28{,}6, o centro natural está em torno de 29. Vou tomar os sete valores inteiros de k mais próximos da média, centrados em 29: k=26,27,28,29,30,31,32. Essa escolha pega três valores abaixo de 29, o próprio 29, e três acima — é uma escolha simétrica em torno do centro inteiro próximo à média.
  • Calcular exatamente cada P(N=k) com a fórmula binomial é possível, mas envolve combinações e potências extensas. Para obter valores numéricos de forma prática e didática aqui vamos usar a aproximação pela distribuição normal com correção de continuidade, que costuma ser muito boa para np e n(1-p) razoavelmente grandes (aqui np=28{,}6 e n(1-p)=114{,}4 são suficientemente grandes).
  • A aproximação normal com correção de continuidade para P(N=k) usa
P(N=k)\approx \Phi\!\bigg(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\bigg) - \Phi\!\bigg(\frac{k-0{,}5-\mu}{\sigma}\bigg),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

Cálculo de \sigma e preparação para os cálculos com a normal.
  • Já calculamos \mu=28{,}6 e \sigma\approx 4{,}783.
  • Para cada k dos sete centrais vou calcular os pontos de corte k-0{,}5 e k+0{,}5, transformar em z-scores por (x-\mu)/\sigma e usar a tabela da normal padrão (ou valores conhecidos de \Phi) para obter a probabilidade aproximada.

Passo 5

Cálculo dos sete termos centrais (k=26\ldots32) pela aproximação normal com correção de continuidade (contas passo a passo).
  • Para k=26: z_{\text{inf}}=\frac{25{,}5-28{,}6}{4{,}783}=\frac{-3{,}1}{4{,}783}\approx -0{,}6485,
z_{\text{sup}}=\frac{26{,}5-28{,}6}{4{,}783}=\frac{-2{,}1}{4{,}783}\approx -0{,}4391.
Usando \Phi: \Phi(-0{,}6485)\approx 0{,}2573, \Phi(-0{,}4391)\approx 0{,}3304. Assim
P(N=26)\approx 0{,}3304-0{,}2573=0{,}0731.
  • Para k=27: z_{\text{inf}}=\frac{26{,}5-28{,}6}{4{,}783}\approx -0{,}4391,\quad z_{\text{sup}}=\frac{27{,}5-28{,}6}{4{,}783}\approx -0{,}2299. \Phi(-0{,}4391)\approx 0{,}3304, \Phi(-0{,}2299)\approx 0{,}4090. Logo P(N=27)\approx 0{,}4090-0{,}3304=0{,}0786.
  • Para k=28: z_{\text{inf}}\approx -0{,}2299,\quad z_{\text{sup}}\approx -0{,}0209. \Phi(-0{,}2299)\approx 0{,}4090, \Phi(-0{,}0209)\approx 0{,}4917. Logo P(N=28)\approx 0{,}4917-0{,}4090=0{,}0827.
  • Para k=29: z_{\text{inf}}\approx -0{,}0209,\quad z_{\text{sup}}\approx 0{,}1883. \Phi(-0{,}0209)\approx 0{,}4917, \Phi(0{,}1883)\approx 0{,}5746. Logo P(N=29)\approx 0{,}5746-0{,}4917=0{,}0829.
  • Para k=30: z_{\text{inf}}\approx 0{,}1883,\quad z_{\text{sup}}\approx 0{,}3973, \Phi(0{,}1883)\approx 0{,}5746, \Phi(0{,}3973)\approx 0{,}6545. Logo P(N=30)\approx 0{,}6545-0{,}5746=0{,}0799.
  • Para k=31: z_{\text{inf}}\approx 0{,}3973,\quad z_{\text{sup}}\approx 0{,}6063, \Phi(0{,}3973)\approx 0{,}6545, \Phi(0{,}6063)\approx 0{,}7279. Logo P(N=31)\approx 0{,}7279-0{,}6545=0{,}0734.
  • Para k=32: z_{\text{inf}}\approx 0{,}6063,\quad z_{\text{sup}}\approx 0{,}8153, \Phi(0{,}6063)\approx 0{,}7279, \Phi(0{,}8153)\approx 0{,}7929. Logo P(N=32)\approx 0{,}7929-0{,}7279=0{,}0650.

Passo 6

Tabela (que serve como “gráfico” dos sete termos centrais) — valores aproximados obtidos pela normal com correção de continuidade:
\begin{array}{c|c} k & P(N=k)\\ \text{(aprox.)}\\hline 26 & 0{,}0731\\\\ 27 & 0{,}0786\\\\ 28 & 0{,}0827\\\\ 29 & 0{,}0829\\\\ 30 & 0{,}0799\\\\ 31 & 0{,}0734\\\\ 32 & 0{,}0650 \end{array}
Soma desses sete termos ≈ 0{,}5356, ou seja, cerca de 53{,}6\% da probabilidade está concentrada nesses sete valores centrais (aproximação pela normal).

Passo 7

Cálculo de P(N=1) (exato por fórmula binomial e comparação com aproximação normal).
  • Fórmula exata:
P(N=1)=\binom{143}{1} (0{,}2)^{1} (0{,}8)^{142} = 143\cdot0{,}2\cdot 0{,}8^{142}.
  • Para avaliar numericamente podemos usar logaritmos: \ln(0{,}8)\approx -0{,}22314355. Então
0{,}8^{142}=\exp(142\ln(0{,}8))=\exp(-31{,}687\ldots)\approx 1{,}775\times10^{-14}.
Multiplicando por 143\cdot0{,}2=28{,}6 obtemos
P(N=1)\approx 28{,}6\times1{,}775\times10^{-14}\approx 5{,}08\times10^{-13}.
Portanto P(N=1)\approx 5{,}08\times10^{-13} (extremamente pequeno).
  • Aproximação normal com correção de continuidade: P(N=1)\approx \Phi\!\Big(\frac{1{,}5-28{,}6}{4{,}783}\Big)-\Phi\!\Big(\frac{0{,}5-28{,}6}{4{,}783}\Big).Os z-scores ficam aproximadamente -5{,}666 e -5{,}875. A diferença das duas \Phi dá algo da ordem de 10^{-9} (por exemplo \sim 4{,}6\times10^{-9}). Isso é bem maior que o valor exato 5{,}08\times10^{-13}: a normal superestima muito aqui.
  • Conclusão: a aproximação normal é péssima para probabilidades tão extremas e à esquerda (pequenos k), porque a binomial é assimétrica quando p não é 0{,}5 e para caudas muito distantes a normal não captura corretamente a massa discreta. Para k muito pequeno (por ex. k=1) é preferível usar a fórmula binomial exata ou aproximações mais apropriadas (ex.: Poisson quando p pequeno e np moderado — aqui np não é pequeno).

Passo 8

Cálculo de P(N\ge 15) usando aproximação normal (com correção de continuidade) e comentário.
  • Usamos a correção de continuidade: P(N\ge 15)=P(N>14{,}5) aproximadamente.
  • Transformando: z=\frac{14{,}5-\mu}{\sigma}=\frac{14{,}5-28{,}6}{4{,}783}=\frac{-14{,}1}{4{,}783}\approx -2{,}949.
  • Assim P(N\ge 15)\approx 1-\Phi(-2{,}949)=1-0{,}0016\approx 0{,}9984.
  • Interpretação: é altamente provável que ele acerte pelo menos 15 vezes (cerca de 99{,}84\% pela aproximação normal). Para este tipo de cálculo de cauda distante mas ainda relativamente próxima da média (15 está a cerca de 2{,}95 desvios padrão abaixo da média), a aproximação normal é bastante confiável. O cálculo exato pela binomial daria um número muito próximo (diferenças na terceira casa decimal típica).

Passo 9

Resumo e comparação da aproximação normal com o exato:
  • A distribuição exata é binomial: N\sim \text{Bin}\big(143,\,0{,}2\big).
  • Para probabilidades próximas à média (como os sete termos centrais k=26\ldots32) a aproximação normal com correção de continuidade dá valores razoavelmente precisos (os valores listados no passo 6).
  • Para caudas extremas (como P(N=1)) a aproximação normal falha — ela superestima fortemente nesse caso. Para caudas moderadas (como P(N\ge 15)) a normal funciona muito bem.
  • Se for necessário obter valores exatos em uma prova sem calculadora, para P(N=1) a expressão \binom{143}{1}0{,}2^1 0{,}8^{142} é a resposta exata; para soma de caudas (por ex. P(N\ge15)) normalmente usa-se a aproximação normal com correção de continuidade a menos que disponha-se de tabela computacional.

Resposta

N\sim \text{Bin}\big(143,\,0{,}2\big).
Tabela dos sete termos centrais (aproximação normal com correção de continuidade):
P(N=26)\approx 0{,}0731
P(N=27)\approx 0{,}0786
P(N=28)\approx 0{,}0827
P(N=29)\approx 0{,}0829
P(N=30)\approx 0{,}0799
P(N=31)\approx 0{,}0734
P(N=32)\approx 0{,}0650
P(N=1)=143\cdot0{,}2\cdot0{,}8^{142}\approx 5{,}08\times10^{-13} (valor exato pela fórmula binomial). A aproximação normal dá um valor da ordem de 10^{-9}, muito maior — aqui a normal falha.
P(N\ge 15)\approx 1-\Phi\!\Big(\dfrac{14{,}5-28{,}6}{4{,}783}\Big)\approx 0{,}9984 pela aproximação normal com correção de continuidade (aproximação bastante boa).

Exercícios relacionados