1(1,5) - Uma esfera de diâmetro 0,2 \mathrm{~m} se desloca em um gás com velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O que você conclui a respeito do arrasto que a esfera estará submetida? Considere a viscosidade e a densidade do gas de respectivamente 2 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s}) e 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de diâmetro D = 0{,}2\\ \mathrm{m} que se move a v = 20\\ \mathrm{m/s} em um gás com viscosidade dinâmica \mu = 2\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)} e densidade \rho = 1\\ \mathrm{kg/m^3}. Precisamos avaliar em que regime de escoamento ela está (laminar de Stokes ou regime inercial) e estimar a força de arrasto.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds, que indica a razão entre forças inerciais e viscosas:
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu}
Substituindo:
\mathrm{Re} = \frac{1 \times 20 \times 0{,}2}{2\times10^{-5}} = \frac{4}{2\times10^{-5}} = 2\times10^{5}.

Passo 3

Como \mathrm{Re}\approx2\times10^5 \gg 1, o escoamento está em regime inercial (transição/turbulento), e a lei de Stokes (válida para \mathrm{Re}\ll1) não se aplica. Usamos a fórmula geral de arrasto:
F_D = \tfrac12\,C_D\,\rho\,A\,v^2,
onde C_D é o coeficiente de arrasto e A é a área de seção reta da esfera.

Passo 4

Para uma esfera em \mathrm{Re}\sim10^5, adota-se tipicamente C_D\approx0{,}5. A área de seção reta é
A = \pi\Bigl(\frac{D}{2}\Bigr)^2 = \pi\frac{D^2}{4} = \pi\frac{(0{,}2)^2}{4} = 0{,}0314\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Agora calculamos F_D:
F_D = \tfrac12 \times 0{,}5 \times 1 \times 0{,}0314 \times (20)^2 = 0{,}25 \times 0{,}0314 \times 400 = 0{,}25 \times 12{,}56 \approx 3{,}14\\ \mathrm{N}.

Resposta

O escoamento está em regime inercial \mathrm{Re}\approx2\times10^5, não cabe usar a lei de Stokes, e a força de arrasto vale aproximadamente 3{,}1;N.

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