Atividade: Avaliação 3 Nota: /20pts Estudante:
  • Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
  • Essa prova tem o valor de 20 pontos.
  • Resolva duas questões entre os números 2,3 e 4 . (Não é permitido resolver todas).
    (___ / 5 pts) Responda verdadeiro ou falso nas seguintes afirmações, justificando cada sentença.
    (a) Todo espaço vetorial V não possui dois subespaços vetoriais.
    (b) Um conjunto com mais do que n vetores do R^n é sempre linearmente dependente.
    (c) Qualquer base de um subespaço W subseteq R^n não nulo tem o mesmo número de elementos.
    (d) Seja T uma transformação linear. Então T leva o vetor nulo para o vetor nulo, ou seja, T(0)=0.
    (e) Seja T: V W uma transformação linear. O núcleo de T, ker(T), é um subespaço vetorial de W .

Passo 1

O enunciado pede para avaliar cinco afirmações sobre espaços vetoriais e transformações lineares, indicando se são verdadeiras ou falsas e justificando. Precisaremos das definições de subespaço vetorial, independência linear, base, dimensão e núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

(a) A afirmação é: “Todo espaço vetorial V não possui dois subespaços vetoriais.” Na verdade, todo espaço vetorial admite pelo menos o subespaço trivial ,0 e V próprio, ou seja, existem sempre pelo menos dois subespaços. Portanto a sentença é falsa.

Passo 3

(b) A afirmação é: “Um conjunto com mais do que n vetores de R^n é sempre linearmente dependente.” Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto de mais de dim(R^n)=n vetores em R^n é necessariamente linearmente dependente. Logo, a sentença é verdadeira.

Passo 4

(c) A afirmação é: “Qualquer base de um subespaço WsubseteqR^n não nulo tem o mesmo número de elementos.” Esse é o teorema fundamental da dimensão: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm cardinalidade igual, definida como dimensão de W. Portanto, a sentença é verdadeira.

Passo 5

(d) A afirmação é: “Seja T uma transformação linear. Então T leva o vetor nulo para o vetor nulo, ou seja, T(0)=0” Isso decorre diretamente da linearidade, pois
T(0)=T(0cdotv)=0cdot T(v)=0
para qualquer v. Logo, a sentença é verdadeira.

Passo 6

(e) A afirmação é: “Seja T:Vto W uma transformação linear. O núcleo de T, ker(T), é um subespaço vetorial de W.” Na definição,
ker(T)=vin Vmid T(v)=0
é subespaço de V, não de W. Portanto, a sentença é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa

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