Atividade: Avaliação 3 Nota:
/20pts Estudante:
- Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
- Essa prova tem o valor de
pontos.
- Resolva duas questões entre os números 2,3 e 4 . (Não é permitido resolver todas).
(___ / 5 pts) Responda verdadeiro ou falso nas seguintes afirmações, justificando cada sentença.
(a) Todo espaço vetorial
não possui dois subespaços vetoriais.
(b) Um conjunto com mais do que
vetores do
é sempre linearmente dependente.
(c) Qualquer base de um subespaço
não nulo tem o mesmo número de elementos.
(d) Seja
uma transformação linear. Então
leva o vetor nulo para o vetor nulo, ou seja,
.
(e) Seja
uma transformação linear. O núcleo de
, é um subespaço vetorial de W .
(___ / 5 pts) Responda verdadeiro ou falso nas seguintes afirmações, justificando cada sentença.
(a) Todo espaço vetorial
(b) Um conjunto com mais do que
(c) Qualquer base de um subespaço
(d) Seja
(e) Seja
Passo 1
O enunciado pede para avaliar cinco afirmações sobre espaços vetoriais e transformações lineares, indicando se são verdadeiras ou falsas e justificando. Precisaremos das definições de subespaço vetorial, independência linear, base, dimensão e núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
(a) A afirmação é: “Todo espaço vetorial
não possui dois subespaços vetoriais.” Na verdade, todo espaço vetorial admite pelo menos o subespaço trivial
e
próprio, ou seja, existem sempre pelo menos dois subespaços. Portanto a sentença é falsa.
Passo 3
(b) A afirmação é: “Um conjunto com mais do que
vetores de
é sempre linearmente dependente.” Pelo teorema da dimensão, qualquer conjunto de mais de
vetores em
é necessariamente linearmente dependente. Logo, a sentença é verdadeira.
Passo 4
(c) A afirmação é: “Qualquer base de um subespaço
não nulo tem o mesmo número de elementos.” Esse é o teorema fundamental da dimensão: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm cardinalidade igual, definida como dimensão de
. Portanto, a sentença é verdadeira.
Passo 5
(d) A afirmação é: “Seja
uma transformação linear. Então
leva o vetor nulo para o vetor nulo, ou seja,
” Isso decorre diretamente da linearidade, pois
para qualquer
. Logo, a sentença é verdadeira.
Passo 6
(e) A afirmação é: “Seja
uma transformação linear. O núcleo de
,
, é um subespaço vetorial de
.” Na definição,
é subespaço de
, não de
. Portanto, a sentença é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa