Construir um isomorfismo entre espaços vetorias de matrizes antissimétricos de ordem 3, A^T=-A, e polinômios de grau <= 2, P2(t).

Passo 1

O enunciado pede um isomorfismo entre o espaço V das matrizes antissimétricas reais de ordem 3, ou seja
V=lAin M3(R)mid A^T=-Ar,
e o espaço P2 dos polinômios reais de grau <=2. O que precisamos:
  • Verificar que dim V=dim P2=3.
  • Escolher bases em cada espaço.
  • Definir uma aplicação linear bijetora que mapeie uma base em outra.

Passo 2

Mostramos que dim V=3. Uma matriz antissimétrica A tem a forma
A= 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 ,
onde a,b,cinR. Logo, cada Ain V é determinado por (a,b,c), mostrando que dim V=3. Também sabemos que dim P2=3, com base usual 1,t,t^2.

Passo 3

Escolhemos a base de V
E1=0&1&0-1&0&00&0&0, E2=0&0&10&0&0-1&0&0, E3=0&0&00&0&10&-1&0,
e a base de P2 é 1,;t,;t^2.

Passo 4

Definimos a aplicação fcolon Vto P2 pela regra de base
f(E1)=1, f(E2)=t, f(E3)=t^2
Em termos dos coeficientes (a,b,c) de uma matriz genérica A, isso equivale a
fl( 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 r) = a + b,t + c,t^2
É imediato ver que f é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar nos coeficientes.

Passo 5

Injetividade: se f(A)=0 então a=b=c=0, logo A=0.
Sobrejetividade: dado qualquer p(t)=alpha+beta t+gamma t^2in P2, basta tomar
A= 0 & alpha & beta -alpha & 0 & gamma -beta & -gamma & 0 ,
pois f(A)=alpha+beta t+gamma t^2=p(t). Assim f é bijetora.

Resposta

O isomorfismo fcolon Vto P2 é
fl( 0 & a & b -a & 0 & c -b & -c & 0 r) = a + b,t + c,t^2

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