Construir um isomorfismo entre espaços vetorias de matrizes antissimétricos de ordem 3,
, e polinômios de grau
.
Passo 1
O enunciado pede um isomorfismo entre o espaço
das matrizes antissimétricas reais de ordem
, ou seja
e o espaço
dos polinômios reais de grau
. O que precisamos:
- Verificar que
. - Escolher bases em cada espaço.
- Definir uma aplicação linear bijetora que mapeie uma base em outra.
Passo 2
Mostramos que
. Uma matriz antissimétrica
tem a forma
onde
a,b,cinR . Logo, cada
Ain V é determinado por
(a,b,c) , mostrando que
dim V=3 . Também sabemos que
dim P2=3 , com base usual
1,t,t^2 .
Passo 3
Escolhemos a base de
V
e a base de
P2 é
1,;t,;t^2 .
Passo 4
Definimos a aplicação
fcolon Vto P2 pela regra de base
Em termos dos coeficientes
(a,b,c) de uma matriz genérica
A , isso equivale a
É imediato ver que
f é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar nos coeficientes.
Passo 5
Injetividade: se
f(A)=0 então
a=b=c=0 , logo
A=0 .
Sobrejetividade: dado qualquerp(t)=alpha+beta t+gamma t^2in P2 , basta tomar
Sobrejetividade: dado qualquer
pois
f(A)=alpha+beta t+gamma t^2=p(t) . Assim
f é bijetora.
Resposta
O isomorfismo
fcolon Vto P2 é