Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
Essa prova tem o valor de pontos.
Resolva duas questões entre os números 2,3 e 4 . (Não é permitido resolver todas).
( / 7,5 pts) Seja um subespaço de .
(b) Determine uma base para .
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede uma base de . O conteúdo aqui é reconhecer geradores de (escrever como span de vetores) e depois extrair um subconjunto linearmente independente que seja base.
Passo 2
Note que qualquer vetor de pode ser escrito como
Logo
Passo 3
Para obter uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes ou se um deles pode ser obtido como combinação dos outros. Suspeitamos que seja combinação de e .
Passo 4
Procuramos
i.e.
Da soma da primeira com a segunda equação vem .
Substituindo em dá , logo .
Verificamos que isso satisfaz também a terceira equação. Portanto
isto é, é dependente de e .
Passo 5
Como v1 e v2 não são múltiplos um do outro (há pelo menos uma coordenada em que não são proporcionais), eles são linearmente independentes. E como v3 está no span de v1,v2, concluímos que