Atividade: Avaliação 3 Nota: /20pts Estudante:
  • Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
  • Essa prova tem o valor de 20 pontos.
  • Resolva duas questões entre os números 2,3 e 4 . (Não é permitido resolver todas).
    ( / 7,5 pts) Seja V=(3 a+4 b-4 c, 2 a-4 b-6 c,-2 a-4 b+2 c) mid a, b, c in R um subespaço de R^3.
    (b) Determine uma base para V.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V=(3a+4b-4c,;2a-4b-6c,;-2a-4b+2c)mid a,b,cinR
e pede uma base de V. O conteúdo aqui é reconhecer geradores de V (escrever V como span de vetores) e depois extrair um subconjunto linearmente independente que seja base.

Passo 2

Note que qualquer vetor de V pode ser escrito como
a,(3,2,-2)+b,(4,-4,-4)+c,(-4,-6,2)
Logo
V=spanlv1=(3,2,-2),;v2=(4,-4,-4),;v3=(-4,-6,2)r

Passo 3

Para obter uma base, precisamos verificar se v1,v2,v3 são linearmente independentes ou se um deles pode ser obtido como combinação dos outros. Suspeitamos que v3 seja combinação de v1 e v2.

Passo 4

Procuramos
i.e.
Da soma da primeira com a segunda equação vem .
Substituindo em , logo .
Verificamos que isso satisfaz também a terceira equação. Portanto
isto é, é dependente de e .

Passo 5

Como v1 e v2 não são múltiplos um do outro (há pelo menos uma coordenada em que não são proporcionais), eles são linearmente independentes. E como v3 está no span de v1,v2, concluímos que
v1,v2
é uma base de V.

Resposta

Uma base para V é
l(3,2,-2),;(4,-4,-4)r

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