Atividade: Avaliação 3 Nota: /20pts Estudante:
  • Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
  • Essa prova tem o valor de 20 pontos.
  • Resolva duas questões entre os números 2,3 e 4 . (Não é permitido resolver todas).
    ( 7,5pts) Considere T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(4 x-2 y-z, 3 x-4 y).
    (b) Determine uma base do núcleo de T.

Passo 1

O enunciado pede o núcleo de T, onde
T:R^3toR^2
é definida por
T(x,y,z) = (,4x - 2y - z,;3x - 4y,)
O conteúdo aqui é transformação linear e espaço núcleo (nullspace). Para encontrar uma base de ker(T) vamos resolver a equação
T(x,y,z) = (0,0)

Passo 2

Pela definição de núcleo, (x,y,z)inker(T) se e somente se
4x - 2y - z = 0
e
3x - 4y = 0

Passo 3

Da segunda equação
3x - 4y = 0
isolamos y:
y = 34,x

Passo 4

Substituindo y = tfrac34x na primeira equação
4x - 2l(tfrac34xr) - z = 0
temos
4x - tfrac32x - z = 0 Longrightarrow 52x - z = 0 Longrightarrow z = 52,x

Passo 5

Assim o vetor genérico do núcleo é
(x,y,z) = l(x,;tfrac34x,;tfrac52xr) = xl(1,tfrac34,tfrac52r)
Escolhendo x=4 para evitar frações, um gerador é
(4,3,10)
Portanto ker(T) é de dimensão 1.

Resposta

Uma base de ker(T) é (4,3,10).

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