Atividade: Avaliação 3 Nota: /20pts Estudante:
  • Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
  • Essa prova tem o valor de 20 pontos.
  • Resolva duas questões entre os números 2,3 e 4 . (Não é permitido resolver todas).
    ( 7,5pts) Considere T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(4 x-2 y-z, 3 x-4 y).
    (a) Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define T:R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (,4x - 2y - z,;3x - 4y,)
Queremos mostrar que T é transformação linear, ou seja, que para quaisquer u,vinR^3 e escalar lambda valem
T(u + v) = T(u) + T(v), T(lambda u) = lambda,T(u)

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u + v = (,x1 + x2,;y1 + y2,;z1 + z2,)
Aplicando T a essa soma:
T(u + v) = l(4(x1+x2)-2(y1+y2)-(z1+z2),;3(x1+x2)-4(y1+y2)r)
Distribuindo,
T(u + v) = l((4x1-2y1-z1)+(4x2-2y2-z2),;(3x1-4y1)+(3x2-4y2)r)
= (4x1-2y1-z1,;3x1-4y1);+;(4x2-2y2-z2,;3x2-4y2) = T(u) + T(v)

Passo 3

Agora seja lambdainR. Para u=(x1,y1,z1),
lambdau = (lambda x1,;lambda y1,;lambda z1),
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T(lambdau) = l(4(lambda x1)-2(lambda y1)-(lambda z1),;3(lambda x1)-4(lambda y1)r)
= l(lambda(4x1-2y1-z1),;lambda(3x1-4y1)r) = lambda,(4x1-2y1-z1,;3x1-4y1) = lambda,T(u)

Passo 4

Verificamos as duas propriedades essenciais da linearidade: aditividade e homogeneidade. Portanto, T é de fato uma transformação linear.

Resposta

T é linear porque satisfaz
T(u + v) = T(u) + T(v) e T(lambda u) = lambda,T(u)

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