Atividade: Avaliação 3 Nota: /20pts Estudante:
  • Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
  • Essa prova tem o valor de 20 pontos.
  • Resolva duas questões entre os números 2,3 e 4 . (Não é permitido resolver todas).
    ( 7,5pts) Considere T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(4 x-2 y-z, 3 x-4 y).
    (c) Dê a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão da imagem de Tcolon R^3toR^2 definida por
T(x,y,z)=(4x-2y-z,;3x-4y)
O conteúdo aqui é transformações lineares e a relação entre dimensão da imagem e posto (rank) da matriz que representa T.

Passo 2

Para usar essa relação, escrevemos a matriz de T nas bases canônicas de R^3 e R^2:
A = 4 & -2 & -1 3 & -4 & 0
Sabemos que
diml(Im(T)r)=rank(A)

Passo 3

Vamos determinar rank(A) analisando a independência linear das linhas de A. Suponha que exista c tal que
(3,,-4,,0)=c,(4,,-2,,-1)
Pela primeira coordenada, c=3/4. Pela segunda, porém, teríamos
-4=(3/4)cdot(-2)=-tfrac32,
o que é impossível. Logo as duas linhas são linearmente independentes, e como A tem apenas duas linhas, segue que
rank(A)=2

Passo 4

Concluímos, portanto, que
diml(Im(T)r)=2

Resposta

dim(Im(T))=2.

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