Atividade: Avaliação 3 Nota: /20pts Estudante:
  • Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
  • Essa prova tem o valor de 20 pontos.
  • Resolva duas questões entre os números 2,3 e 4 . (Não é permitido resolver todas).
    ( 7,5pts) Considere T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(4 x-2 y-z, 3 x-4 y).
    (d) T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
Tcolon R^3to R^2, T(x,y,z)=(4x -2y -z,;3x-4y)
Queremos verificar se T é sobrejetora, ou seja, se ImT=R^2. Para isso, vamos usar o critério de posto (rank) da matriz associada a T.

Passo 2

Escrevendo T na base canônica, sua matriz A é
A= 4 & -2 & -1 3 & -4 & 0 ,
cujas colunas são os vetores geradores de ImT. T será sobrejetora se essas colunas gerarem todo R^2, isto é, se rank(A)=2.

Passo 3

Basta verificar que existe um menor de ordem 2 não nulo. Por exemplo, tomando as duas primeiras colunas, o determinante da submatriz
4 & -2 3 & -4
é
4cdot(-4)-(-2)cdot3=-16+6=-10neq0
Logo rank(A)=2, que coincide com dimR^2.

Resposta

T é sobrejetora, pois rank(A)=2=dimR^2, o que implica ImT=R^2.

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