Considerando os vetores v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1), resolva os itens abaixo:
(a) Escreva o vetor v=(-4,-18,7) como combinação linear dos vetores v1 e v2.
(b) Mostre que o vetor v=(4,3,-6) não é combinação linear de v1 e v2.
(c) Determine o valor de k para que o vetor u=(-1, k,-7) seja combinação linear de v1 e v2.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec v1=(1,-3,2) e vec v2=(2,4,-1)
e pede para fazer três coisas envolvendo combinações lineares:
(a) expressar vec v=(-4,-18,7) como alphavec v1+betavec v2;
(b) mostrar que vec w=(4,3,-6) não se escreve assim;
(c) achar k para que vec u=(-1,k,-7) seja combinação linear.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares para verificar e determinar combinações.

Passo 2

Para (a) assumimos
alphavec v1+betavec v2 = vec v
isto é, o sistema
alpha + 2beta = -4, -3alpha + 4beta = -18, 2alpha - beta = 7
Da primeira equação alpha = -4 - 2beta. Substituindo na terceira:
2(-4 - 2beta) - beta = 7 Longrightarrow -8 -4beta - beta = 7 Longrightarrow -5beta = 15 Longrightarrow beta = -3
Então alpha = -4 - 2(-3) = 2. Verificando na segunda equação:
-3cdot2 + 4cdot(-3) = -6 -12 = -18,
confere. Logo
vec v = 2,vec v1 ;-;3,vec v2

Passo 3

Para (b) repetimos o mesmo para
Da primeira equação não é combinação linear de e .

Passo 4

Para (c) definimos
alpha +2beta = -1, -3alpha +4beta = k, 2alpha - beta = -7
De novo alpha = -1 -2beta. Substituindo na terceira:
2(-1-2beta)-beta = -7 Longrightarrow -2-4beta-beta = -7 Longrightarrow -5beta = -5 Longrightarrow beta = 1, alpha = -1 -2 = -3
Para que isso seja solução, na segunda equação deve valer
-3alpha +4beta = -3(-3)+4cdot1 = 9+4 = 13
Logo k deve ser 13.

Resposta

(a) vec v = 2,vec v1 - 3,vec v2
(b) vec w não é combinação linear de vec v1 e vec v2
(c) k = 13.

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