Atividade 4. Se C é descrito por z(t)=2 e^i t, 0 <= t <= pi, calcule integralC(barz)^2 d z.
Observação: cos (t)=cos (-t) e sen(t)=-sen(-t), logo se w=e^t i, temos que barw=e^-t i

Passo 1

O exercício pede para calcular o integral de contorno integralC (bar z)^2,dz onde C é o semicírculo dado por z(t)=2e^it, 0<= t<=pi. O conteúdo é integração de funções complexas por parametrização, então vamos precisar expressar z, bar z e dz em função de t.

Passo 2

Parametrizando a curva, temos:
z(t)=2e^it,
bar z(t)=2e^-it,
dz=dzdt,dt=2i e^it,dt

Passo 3

Agora substituímos na integral. Primeiro note que
(bar z(t))^2=4e^-2it
Portanto
integralC(bar z)^2,dz=integral0^pi 4e^-2itcdot(2i e^it),dt=8iintegral0^pi e^-it,dt

Passo 4

Para calcular integral0^pi e^-it,dt, usamos a primitiva de e^-it:
integral e^-it,dt=e^-it-i
Então
integral0^pi e^-it,dt=[e^-it-i]0^pi=e^-ipi-1-i=-1-1-i=-2-i=2/i=-2i

Passo 5

Multiplicando por 8i, obtemos
8icdot(-2i)=-16i^2=16

Resposta

16

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