Considere a o problema de valor inicial y^prime prime-4 y=0, y(0)=b>0, y^prime(0)=0 neq 0. Mostre que y(x)>0, forall x in R.
[Resp: y(x)=1 / 2 b(e^2 x+e^-2 x)>0, se b>0.]

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - 4y = 0, y(0)=b>0, y'(0)=0
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Associamos à EDO a equação característica
lambda^2 - 4 = 0,
cujas raízes são lambda = 2 e lambda = -2. Logo a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x

Passo 3

Usando as condições iniciais para achar C1 e C2:
y(0)=C1 + C2 = b,
y'(x)=2C1 e^2x - 2C2 e^-2x ;Longrightarrow; y'(0)=2C1 - 2C2 = 0 ;Longrightarrow; C1 = C2
Substituindo em C1 + C2 = b 2C1 = b, ou seja C1 = C2 = tfrac b2.

Passo 4

Portanto a solução particular é
y(x) = b2l(e^2x + e^-2xr)
Como e^2x>0 e e^-2x>0 para todo xinR, o somatório é sempre positivo e, multiplicando por b/2>0, resulta
y(x)>0,forall xinR

Resposta

y(x) = b2l(e^2x + e^-2xr) > 0

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