Exercício II.8: Considere os vetores
v1=2 x^2-x+3 e v2=-x^2+4 x-2,
pertencentes ao espaço vetorial dos polinômios de grau <= 2 Encontre alpha1 e alpha2 tal que v=4 x^2-2 x+6 seja uma combinação linear de v1 e v2.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores ,v1=2x^2-x+3 e ,v2=-x^2+4x-2 no espaço vetorial P2 e pede alpha1 e alpha2 tais que
alpha1v1+alpha2v2=vcom v=4x^2-2x+6
Vamos resolver isso igualando coeficientes.

Passo 2

Igualando coeficientes de x^2, de x e do termo constante em alpha1v1+alpha2v2=v, obtemos o sistema
2alpha1-alpha2=4, -alpha1+4alpha2=-2, 3alpha1-2alpha2=6

Passo 3

Da primeira equação
2alpha1-alpha2=4
vem
alpha2=2alpha1-4

Passo 4

Substituindo alpha2=2alpha1-4 na segunda equação
-alpha1+4(2alpha1-4)=-2
temos
-,alpha1+8alpha1-16=-2 Longrightarrow 7alpha1=14 Longrightarrow alpha1=2

Passo 5

Logo
alpha2=2cdot2-4=0,
e conferindo na terceira equação temos 3cdot2-2cdot0=6, que confirma a consistência.

Resposta

alpha1=2 e alpha2=0.

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