ATIVIDADE 6

Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
  1. x=y^{2}-1, x=|y| \sqrt{1-y^{2}}.
  2. y=\frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}}, y=\frac{3}{x}.
  3. x^{2}=9 y-81, x^{2}=4 y-16, x^{2}=y-1; não intersecta o eixo y.
  4. y=\sqrt{1-x}-\sqrt{x}, x=y^{2}.
  5. y=x^{2}-2|x|+2, y=\frac{5}{4}.
  6. y=x^{2}, y=-x^{2}+8, y=4 x+12.
  7. y^{2}=x^{2}-x^{4}.
  8. y=\left|x^{3}-4 x^{2}+x+6\right|, y=-\frac{x^{2}}{3}, x=0, x=4.
  9. y=\operatorname{tg} x, y=\frac{2}{3} \cos x, x=0.
  10. y=\operatorname{arctg} x, y=\operatorname{arccos} \left(\frac{3 x}{2}\right), y=0.
    a) esboce as regiões;
    b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
    c) calcule essas integrais.

Passo 1

O enunciado (item 1) pede a área da região limitada pelas curvas
x = y^{2} - 1,\quad x = |y|\sqrt{1 - y^{2}}.
O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas vistas em fatias horizontais. Vamos:
  1. esboçar a região (é simétrica em relação ao eixo x);
  2. achar os pontos de interseção em y;
  3. escrever a integral em y;
  4. calcular.

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
y^{2}-1 = |y|\sqrt{1-y^{2}}.
Como a região é simétrica, resolvemos para y\ge0:
y^{2}-1 = y\sqrt{1-y^{2}},
elevando ao quadrado:
(y^{2}-1)^{2} = y^{2}(1-y^{2}) \;\Longrightarrow\; y^{4}-2y^{2}+1 = y^{2}-y^{4} \;\Longrightarrow\; 2y^{4}-3y^{2}+1=0.
Fatorando:
(2y^{2}-1)(y^{2}-1)=0 \;\Longrightarrow\; y = \frac1{\sqrt2},\;1.
Para y=1, x=0; para y=1/\sqrt2, x= \tfrac1{2}-1=-\tfrac12. Em y=0 as curvas valem x=-1 e x=0. Assim a região em y vai de -1 a 1.

Passo 3

Em cada y, a fronteira “direita” é x_{R}=|y|\sqrt{1-y^{2}} e a “esquerda” é x_{L}=y^{2}-1. Logo
\text{Área} =\int_{y=-1}^{1}\bigl[x_{R}(y)-x_{L}(y)\bigr]\,dy =2\int_{0}^{1}\bigl(y\sqrt{1-y^{2}} - (y^{2}-1)\bigr)\,dy.Á

Passo 4

Calculemos
I_{1}=\int_{0}^{1}y\sqrt{1-y^{2}}\,dy,
fazendo u=1-y^{2}, du=-2y\,dy:
I_{1}=-\tfrac12\int_{u=1}^{0}u^{1/2}du =\tfrac12\int_{0}^{1}u^{1/2}du =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{1}{3}.
E
I_{2}=\int_{0}^{1}(y^{2}-1)\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}-y\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(\tfrac{1}{3}-1\Bigr) =-\tfrac{2}{3}.
Portanto o integrando total em [0,1] vale
I_{1}-I_{2} =\tfrac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =1.
Logo a área:
\text{Área} =2\cdot 1 =2.Á

Resposta

A área da região do item 1 é 2.

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