Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
y=\operatorname{tg} x, y=\frac{2}{3} \cos x, x=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
\displaystyle y=\tan x, \displaystyle y=\tfrac{2}{3}\cos x e pela reta vertical \displaystyle x=0.
O conteúdo é cálculo de área por integração: precisamos encontrar o intervalo em x onde as curvas se intersectam, esboçar qualitativamente as duas curvas em [0,\dots], e depois usar
\text{Área}=\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\bigl(y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}}\bigr)\,dx.Á

Passo 2

Determinamos o ponto em que
\tan x = \frac{2}{3}\cos x.
Escrevendo \tan x=\tfrac{\sin x}{\cos x}, obtemos
\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2}{3}\cos x \;\;\Longrightarrow\;\; \sin x=\frac{2}{3}\cos^2 x =\frac{2}{3}(1-\sin^2 x).
Seja u=\sin x. Temos
u = \tfrac{2}{3}(1-u^2) \;\Longrightarrow\; 2u^2+3u-2=0 \;\Longrightarrow\; u=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4} =\frac{-3\pm5}{4}.
A solução viável em [-1,1] é u=\tfrac12, isto é \sin x=\tfrac12, que em [0,\pi/2]
x=\frac{\pi}{6}.

Passo 3

No intervalo 0\le x\le \tfrac{\pi}{6}:
  • Em x=0, \tan0=0 e \tfrac{2}{3}\cos0=\tfrac23, logo \tfrac23>\!0.
  • Em x=\tfrac{\pi}{6}, as duas curvas se igualam.
    Portanto, para x\in[0,\pi/6], a curva y=\tfrac23\cos x fica acima de y=\tan x.

Passo 4

A área da região é
A \;=\;\int_{0}^{\pi/6}\Bigl(\tfrac{2}{3}\cos x \;-\;\tan x\Bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{\pi/6}\tfrac{2}{3}\cos x\,dx =\frac{2}{3}\bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\pi/6} =\frac{2}{3}\Bigl(\tfrac12-0\Bigr) =\frac13,
\int_{0}^{\pi/6}\tan x\,dx =\bigl[-\ln\lvert\cos x\rvert\bigr]_{0}^{\pi/6} =-\ln\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6}\bigr)+\ln\bigl(\cos0\bigr) =-\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{2}{\sqrt3}\Bigr).
Assim
A =\frac{1}{3}\;-\;\ln\!\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt3}\Bigr).

Resposta

A = \frac{1}{3} - \ln\!\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt3}\Bigr).

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