Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
x^{2}=9 y-81, x^{2}=4 y-16, x^{2}=y-1; não intersecta o eixo y

Passo 1

Vamos primeiro reescrever as curvas na forma y=f(x).
A partir de
x^{2}=y-1,\quad x^{2}=4y-16,\quad x^{2}=9y-81
temos
f_{1}(x)=y=x^{2}+1,\quad f_{2}(x)=y=\frac{x^{2}+16}{4}=\frac{x^{2}}{4}+4,\quad f_{3}(x)=y=\frac{x^{2}+81}{9}=\frac{x^{2}}{9}+9.
No plano xy, são três parábolas abertas para cima, com vértices em (0,1), (0,4) e (0,9). Elas formam duas regiões fechadas:
– Região R_{1} entre f_{1} (mais abaixo) e f_{2}.
– Região R_{2} entre f_{2} (no meio) e f_{3}.

Passo 2

Encontramos as abscissas onde as curvas se intersectam:
  1. f_{1}(x)=f_{2}(x)
x^{2}+1=\frac{x^{2}}{4}+4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-\frac{x^{2}}{4}=3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3x^{2}}{4}=3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=4
logo x=\pm2, e aí y=2^{2}+1=5.
  1. f_{2}(x)=f_{3}(x)
\frac{x^{2}}{4}+4=\frac{x^{2}}{9}+9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5x^{2}}{36}=5 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=36
logo x=\pm6, e aí y=6^{2}/4+4=13.
Portanto
R_{1} está em x\in[-2,2].
R_{2} está em x\in[-6,6].

Passo 3

Para calcular a área de uma região entre duas curvas y=f_{\rm sup}(x) e y=f_{\rm inf}(x) usamos
A=\int_{a}^{b}\bigl(f_{\rm sup}(x)-f_{\rm inf}(x)\bigr)\,dx.
Na região R_{1} temos f_{\rm sup}=f_{2} e f_{\rm inf}=f_{1}, com a=-2, b=2.
A_{1} =\int_{-2}^{2}\Bigl(\frac{x^{2}}{4}+4 \;-\;(x^{2}+1)\Bigr)\,dx =\int_{-2}^{2}\Bigl(-\tfrac{3}{4}x^{2}+3\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculando A_{1}:
\int_{-2}^{2}\Bigl(-\tfrac{3}{4}x^{2}+3\Bigr)\,dx =-\tfrac{3}{4}\int_{-2}^{2}x^{2}\,dx+3\int_{-2}^{2}1\,dx.
Como \int_{-2}^{2}x^{2}dx=2\int_{0}^{2}x^{2}dx=2\cdot\tfrac{8}{3}=\tfrac{16}{3} e \int_{-2}^{2}dx=4, obtemos
A_{1} =-\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{16}{3}+3\cdot4 =-4+12 =8.

Passo 5

Para R_{2} temos f_{\rm sup}=f_{3} e f_{\rm inf}=f_{2}, com a=-6, b=6.
A_{2} =\int_{-6}^{6}\Bigl(\frac{x^{2}}{9}+9 \;-\;\bigl(\frac{x^{2}}{4}+4\bigr)\Bigr)\,dx =\int_{-6}^{6}\Bigl(-\tfrac{5}{36}x^{2}+5\Bigr)\,dx.

Passo 6

Calculando A_{2}:
\int_{-6}^{6}\Bigl(-\tfrac{5}{36}x^{2}+5\Bigr)\,dx =-\tfrac{5}{36}\int_{-6}^{6}x^{2}dx+5\int_{-6}^{6}1\,dx.
Como \int_{-6}^{6}x^{2}dx=2\int_{0}^{6}x^{2}dx=2\cdot\tfrac{216}{3}=144 e \int_{-6}^{6}dx=12, temos
A_{2} =-\tfrac{5}{36}\cdot144+5\cdot12 =-20+60 =40.

Resposta

Área da região entre x^{2}=y-1 e x^{2}=4y-16: 8.
Área da região entre x^{2}=4y-16 e x^{2}=9y-81: 40.

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