Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
; não intersecta o eixo
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
Passo 1
Vamos primeiro reescrever as curvas na forma
.
A partir de
A partir de
temos
No plano
, são três parábolas abertas para cima, com vértices em
,
e
. Elas formam duas regiões fechadas:
– Região entre
(mais abaixo) e
.
– Região entre
(no meio) e
.
– Região
– Região
Passo 2
Encontramos as abscissas onde as curvas se intersectam:
-
dá
logo
, e aí
.
-
dá
logo
, e aí
.
Portanto
– está em
.
– está em
.
–
–
Passo 3
Para calcular a área de uma região entre duas curvas
e
usamos
Na região
temos
e
, com
,
.
Passo 4
Calculando
:
Como
e
, obtemos
Passo 5
Para
temos
e
, com
,
.
Passo 6
Calculando
:
Como
e
, temos
Resposta
Área da região entre
e
:
Área da região entre e
:
Área da região entre