Usando o método das séries de potências com centro em t=0 encontre a solução do seguinte pvi fornecendo os 6 primeiros coeficientes desta série de potências (ou seja, faça o truncamento em \left.Y_{6} t^{6}\right).
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(t)-t y^{\prime}(t)+0.5 y(t) & \equiv 0 \\\ y(0) & =1 \\\ y^{\prime}(0) & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''(t) - t\,y'(t) + 0.5\,y(t) = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=0
usando o método de séries de potências centrado em t=0. Vamos supor uma solução da forma
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,t^n
e determinar os coeficientes a_n, dando os termos até t^6.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série:
y'(t)=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,t^{n-1} =\sum_{n=0}^\infty (n+1)\,a_{n+1}\,t^n,
y''(t)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n\,t^{n-2} =\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,t^n.

Passo 3

Substituindo na EDO:
\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,t^n \;-\;t\sum_{n=0}^\infty (n+1)\,a_{n+1}\,t^n \;+\;0.5\sum_{n=0}^\infty a_n\,t^n =0.
O termo -t\,y' vira -\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,t^n. Igualando coeficientes de t^n obtemos, para n\ge0,
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\;-\;n\,a_n\;+\;0.5\,a_n=0 \;\;\Longrightarrow\;\; a_{n+2}=\frac{\,n-0.5\,}{(n+2)(n+1)}\,a_n.

Passo 4

Pelo PVI,
a_0=y(0)=1,\quad a_1=y'(0)=0.
Para n=0:
a_2=\frac{0-0.5}{2\cdot1}\,a_0=-\frac{0.5}{2}\cdot1=-\frac14.

Passo 5

Usando a recorrência:
  • Para n=1: a_3=\frac{1-0.5}{3\cdot2}a_1=0.
  • Para n=2: a_4=\frac{2-0.5}{4\cdot3}a_2=\frac{1.5}{12}\bigl(-\tfrac14\bigr)=-\tfrac1{32}.
  • Para n=3: a_5=\frac{3-0.5}{5\cdot4}a_3=0.
  • Para n=4: a_6=\frac{4-0.5}{6\cdot5}a_4=\frac{3.5}{30}\bigl(-\tfrac1{32}\bigr)=-\frac7{1920}.

Passo 6

Assim, truncando em t^6, a série é
y(t)\approx a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4+a_5t^5+a_6t^6 =1-\tfrac14\,t^2-\tfrac1{32}\,t^4-\tfrac7{1920}\,t^6.

Resposta

y(t)=1 \;-\;\frac14\,t^2\;-\;\frac1{32}\,t^4\;-\;\frac7{1920}\,t^6+\cdots

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