Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
y=\operatorname{arctg} x, y=\operatorname{arccos} \left(\frac{3 x}{2}\right), y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
\displaystyle y=\arctan x, \displaystyle y=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr) e \displaystyle y=0.
O conteúdo é cálculo de área por integrais definidas. Vamos: (1) achar as interseções, (2) esboçar mentalmente a região, (3) escrever as integrais, (4) calcular cada uma e (5) somar.

Passo 2

Determinam-se as interseções:
\arctan x=0 em x=0.
\operatorname{arccos}\!(\tfrac{3x}{2})=0 em \tfrac{3x}{2}=1\;\Longrightarrow\;x=\tfrac{2}{3}.
\arctan x=\operatorname{arccos}\!(\tfrac{3x}{2}): seja \arctan x=t, então \tan t=x e \cos t=\tfrac{3x}{2}.
Então \displaystyle\frac1{\sqrt{1+x^2}}=\frac{3x}{2} leva a x^2=\tfrac13 (descartamos a raiz negativa). Logo x=\tfrac1{\sqrt3} e y=\arctan(\tfrac1{\sqrt3})=\tfrac\pi6.

Passo 3

No eixo x a região vai de x=0 a x=\tfrac23. De 0 a \tfrac1{\sqrt3} o teto é y=\arctan x; de \tfrac1{\sqrt3} a \tfrac23 o teto é y=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr). O piso é sempre y=0.
A \;=\;\int_{0}^{1/\sqrt3}\!\arctan x\,dx\;+\;\int_{1/\sqrt3}^{2/3}\!\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{3x}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos \displaystyle\int \arctan x\,dx por partes:
u=\arctan x,\quad dv=dx \quad\Longrightarrow\quad du=\frac{dx}{1+x^2},\quad v=x,
\int\arctan x\,dx = x\,\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}\,dx = x\,\arctan x-\tfrac12\ln\bigl(1+x^2\bigr).
Então
\int_{0}^{1/\sqrt3}\!\arctan x\,dx =\Bigl[x\arctan x-\tfrac12\ln(1+x^2)\Bigr]_{0}^{1/\sqrt3} =\frac{\pi}{6\sqrt3}-\frac12\ln\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 5

Agora \displaystyle\int\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr)\,dx. Por partes:
u=\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{3x}{2}\Bigr),\quad dv=dx \;\Longrightarrow\; du=-\frac{\tfrac32}{\sqrt{1-(\tfrac{3x}{2})^2}}\,dx,\;v=x.
\int\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{3x}{2}\Bigr)dx =x\,\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{3x}{2}\Bigr) +\frac32\int\frac{x}{\sqrt{1-\tfrac{9x^2}{4}}}\,dx.
Note que \sqrt{1-\tfrac{9x^2}{4}}=\tfrac12\sqrt{4-9x^2}. Com t=4-9x^2 obtém-se
\int\frac{3x}{\sqrt{4-9x^2}}\,dx=-\tfrac13\sqrt{4-9x^2}.
Logo
\int\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{3x}{2}\Bigr)dx = x\,\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{3x}{2}\Bigr) -\tfrac{1}{3}\sqrt{4-9x^2}.
Avaliando de x=1/\sqrt3 a x=2/3:
\Bigl[x\,\operatorname{arccos}(\tfrac{3x}{2})-\tfrac13\sqrt{4-9x^2}\Bigr]_{1/\sqrt3}^{2/3} =0-\Bigl(\tfrac{\pi}{6\sqrt3}-\tfrac13\Bigr) =\tfrac13-\frac{\pi}{6\sqrt3}.

Passo 6

Somando as duas partes:
A =\Bigl(\tfrac{\pi}{6\sqrt3}-\tfrac12\ln\tfrac{4}{3}\Bigr) +\Bigl(\tfrac13-\tfrac{\pi}{6\sqrt3}\Bigr) =\frac13-\frac12\ln\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr).

Resposta

\boxed{A=\frac13-\frac12\ln\!\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)\,.}

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