Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas, conforme o seguinte:
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
.
a) esboce as regiões;
b) forneça as integrais definidas que correspondem às áreas dessas regiões;
c) calcule essas integrais.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
O conteúdo é cálculo de área por integrais definidas. Vamos: (1) achar as interseções, (2) esboçar mentalmente a região, (3) escrever as integrais, (4) calcular cada uma e (5) somar.
O conteúdo é cálculo de área por integrais definidas. Vamos: (1) achar as interseções, (2) esboçar mentalmente a região, (3) escrever as integrais, (4) calcular cada uma e (5) somar.
Passo 2
Determinam-se as interseções:
– em
.
– em
.
– : seja
, então
e
.
Então leva a
(descartamos a raiz negativa). Logo
e
.
–
–
–
Então
Passo 3
No eixo
a região vai de
a
. De
a
o teto é
; de
a
o teto é
. O piso é sempre
.
Passo 4
Calculemos
por partes:
Então
Passo 5
Agora
. Por partes:
Note que
. Com
obtém-se
.
Logo
Logo
Avaliando de
a
:
Passo 6
Somando as duas partes: