Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
F(t)=(cos (t), 2 sen(t), t), F(pi3)

Passo 1

Temos uma curva dada pela função vetorial
F(t) = l(cos(t),,2sin(t),,tr)
e queremos a reta tangente à trajetória no ponto t0 = pi3.
O conteúdo aqui é derivada de função vetorial para obter o vetor tangente e depois montar a equação paramétrica da reta.

Passo 2

Calculemos a derivada de F, isto é o vetor velocidade F'(t).
Como derivada de cos(t) é -sin(t), de 2sin(t) é 2cos(t) e de t é 1, temos
F'(t) = l(-sin(t),,2cos(t),,1r)

Passo 3

Avalie F e F' em t0 = pi3.
Para Fl(tfracpi3r):
cos!l(tfracpi3r) = tfrac12, 2sin!l(tfracpi3r) = 2cdottfracraiz32 = raiz3, t0 = tfracpi3,
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Fl(tfracpi3r) = l(tfrac12,,raiz3,,tfracpi3r)
Para F'l(tfracpi3r):
-sin!l(tfracpi3r) = -tfracraiz32, 2cos!l(tfracpi3r) = 2cdottfrac12 = 1, 1 = 1,
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F'l(tfracpi3r) = l(-tfracraiz32,,1,,1r)

Passo 4

A reta tangente em t0 tem equação vetorial
L(s) = Fl(tfracpi3r) + s,F'l(tfracpi3r),
onde s é o parâmetro. Substituindo os valores:
L(s) = l(tfrac12,,raiz3,,tfracpi3r) + s;l(-tfracraiz32,,1,,1r)
Em coordenadas paramétricas:
x(s) = tfrac12 - tfracraiz32,s, y(s) = raiz3 + s, z(s) = tfracpi3 + s

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedL(s) = l(tfrac12,,raiz3,,tfracpi3r) + s;l(-tfracraiz32,,1,,1r)

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