Determine o núcleo, uma base e dimensão para o núcleo, a imagem, uma base e a dimensão para a imagem das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z, t)=(x+2 y+3 z+2 t, 2 x+4 y+7 z+5 t, x+2 y+6 z+5 t)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
fornecer uma base de \ker(T) e a dimensão de \ker(T);
determinar a imagem de T (ou seja, \operatorname{Im}(T));
fornecer uma base de \operatorname{Im}(T) e a dimensão de \operatorname{Im}(T).
As informações relevantes do enunciado são as fórmulas das três componentes de T em função de x,y,z,t.
Passo 2
Primeiro alguns conceitos importantes, explicados devagar e na prática (como se eu estivesse te explicando no caderno ao lado).
Definições e ideias usadas:
A transformação linear T pode ser representada por uma matriz A3\times4 na base canônica; as colunas de A são as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4.
O núcleo \ker(T) é o conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^4 tais que T(v)=0. Em termos da matriz A isso é resolver A v = 0.
A imagem \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas de A (ou seja, o span das colunas).
Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o subespaço. A dimensão é o número de vetores da base.
Para achar a dimensão e a base do núcleo e da imagem usamos eliminação por linhas (redução por linhas) para encontrar pivôs, variáveis livres, e as colunas independentes. O teorema posto-nulidade (rank–nullity) diz que
\dim(\ker(T)) + \operatorname{rank}(A) = 4,
onde \operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Im}(T)).
Passo 3
Escrevemos a matriz A associada a T na base canônica. Cada coluna corresponde à imagem de um vetor canônico (1,0,0,0), (0,1,0,0),\dots. Pelas componentes dadas:
Agora vamos encontrar \ker(T) resolvendo A\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}=0. Monto a matriz aumentada (colocando a coluna de zeros) e faço eliminação por linhas. Começo com a matriz de coeficientes:
Esses vetores são linearmente independentes (são parâmetros independentes s e r), logo
\dim(\ker(T))=2.
Passo 6
Pela eliminação vimos que há dois pivôs (na coluna 1 e na coluna 3 da matriz escalonada), então \operatorname{rank}(A)=2. Confirmação com o teorema posto-nulidade:
Como na eliminação por linhas os pivôs ficaram nas colunas 1 e 3, as colunas c_1 e c_3 são linearmente independentes e formam uma base da coluna-espaço. Verifico que as outras colunas são combinações lineares delas:
Para c_2 nota-se imediatamente que c_2 = 2c_1, pois 2(1,2,1)=(2,4,2).
Para c_4 procuro a,b tais que a c_1 + b c_3 = c_4. Isso dá o sistema
a + 3b = 2,\qquad 2a + 7b = 5,\qquad a + 6b = 5.
Das duas primeiras equações subtract: (2a+7b) - 2(a+3b) = 5 - 4 \Rightarrow b=1. Então a + 3(1)=2\Rightarrow a=-1. Verificando na terceira: -1 + 6(1)=5 ok. Assim c_4 = -1\cdot c_1 + 1\cdot c_3.
Portanto \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{c_1,c_3\}. Uma base é
Resumo conceitual final (rápido): o núcleo é um subespaço de dimensão 2 gerado pelos vetores que encontrámos; a imagem é o subespaço coluna de A de dimensão 2 gerado por c_1 e c_3. Isso está de acordo com a redução por linhas e com rank–nullity.
Resposta
\ker(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}
Base de \ker(T): \left\{\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\right\} \dim(\ker(T))=2 \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}\right\}
Base de \operatorname{Im}(T): \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}\right\} \dim(\operatorname{Im}(T))=2