Determine o núcleo, uma base e dimensão para o núcleo, a imagem, uma base e a dimensão para a imagem das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z, t)=(x+2 y+3 z+2 t, 2 x+4 y+7 z+5 t, x+2 y+6 z+5 t)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z,t) = (x+2y+3z+2t,\; 2x+4y+7z+5t,\; x+2y+6z+5t).
O que se pede explicitamente:
  • determinar o núcleo de T (ou seja, \ker(T));
  • fornecer uma base de \ker(T) e a dimensão de \ker(T);
  • determinar a imagem de T (ou seja, \operatorname{Im}(T));
  • fornecer uma base de \operatorname{Im}(T) e a dimensão de \operatorname{Im}(T).
As informações relevantes do enunciado são as fórmulas das três componentes de T em função de x,y,z,t.

Passo 2

Primeiro alguns conceitos importantes, explicados devagar e na prática (como se eu estivesse te explicando no caderno ao lado).
Definições e ideias usadas:
  • A transformação linear T pode ser representada por uma matriz A 3\times4 na base canônica; as colunas de A são as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4.
  • O núcleo \ker(T) é o conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^4 tais que T(v)=0. Em termos da matriz A isso é resolver A v = 0.
  • A imagem \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas de A (ou seja, o span das colunas).
  • Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o subespaço. A dimensão é o número de vetores da base.
  • Para achar a dimensão e a base do núcleo e da imagem usamos eliminação por linhas (redução por linhas) para encontrar pivôs, variáveis livres, e as colunas independentes. O teorema posto-nulidade (rank–nullity) diz que
\dim(\ker(T)) + \operatorname{rank}(A) = 4,
onde \operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Im}(T)).

Passo 3

Escrevemos a matriz A associada a T na base canônica. Cada coluna corresponde à imagem de um vetor canônico (1,0,0,0), (0,1,0,0),\dots. Pelas componentes dadas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 7 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos encontrar \ker(T) resolvendo A\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix}=0. Monto a matriz aumentada (colocando a coluna de zeros) e faço eliminação por linhas. Começo com a matriz de coeficientes:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 7 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}.
Faço as seguintes operações elementares (vou indicar cada operação e o resultado):
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: (2,4,7,5) - 2(1,2,3,2) = (0,0,1,1).
  1. R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3: (1,2,6,5) - (1,2,3,2) = (0,0,3,3).
Após essas duas operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
  1. R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2:
R_3: (0,0,3,3) - 3(0,0,1,1) = (0,0,0,0).
Agora a matriz em forma escalonada é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para simplificar a leitura do sistema elimino o 3 acima do pivô da segunda linha: R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2:
R_1: (1,2,3,2) - 3(0,0,1,1) = (1,2,0,-1).
A matriz escalonada (quase a RREF) é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretando as equações correspondentes às linhas não-nulas:
  • Da primeira linha: x + 2y - t = 0, ou seja \,x = -2y + t.
  • Da segunda linha: z + t = 0, ou seja \,z = -t.
As variáveis livres são y e t. Coloco y=s e t=r, com s,r\in\mathbb{R}. Então
x = -2s + r,\qquad y = s,\qquad z = -r,\qquad t = r.
Escrevo o vetor genérico do núcleo como combinação linear:
\begin{pmatrix}x\y\z\t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto uma base para \ker(T) é formada pelos vetores
\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Esses vetores são linearmente independentes (são parâmetros independentes s e r), logo
\dim(\ker(T))=2.

Passo 6

Pela eliminação vimos que há dois pivôs (na coluna 1 e na coluna 3 da matriz escalonada), então \operatorname{rank}(A)=2. Confirmação com o teorema posto-nulidade:
\dim(\ker(T)) + \operatorname{rank}(A) = 2 + 2 = 4,
o que bate com o número de colunas (4). Então tudo consistente.

Passo 7

Agora a imagem \operatorname{Im}(T) é o espaço gerado pelas colunas de A. Escrevo as colunas explicitamente:
c_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix},\quad c_4=\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 5\end{pmatrix}.
Como na eliminação por linhas os pivôs ficaram nas colunas 1 e 3, as colunas c_1 e c_3 são linearmente independentes e formam uma base da coluna-espaço. Verifico que as outras colunas são combinações lineares delas:
  • Para c_2 nota-se imediatamente que c_2 = 2c_1, pois 2(1,2,1)=(2,4,2).
  • Para c_4 procuro a,b tais que a c_1 + b c_3 = c_4. Isso dá o sistema
a + 3b = 2,\qquad 2a + 7b = 5,\qquad a + 6b = 5.
Das duas primeiras equações subtract: (2a+7b) - 2(a+3b) = 5 - 4 \Rightarrow b=1. Então a + 3(1)=2\Rightarrow a=-1. Verificando na terceira: -1 + 6(1)=5 ok. Assim c_4 = -1\cdot c_1 + 1\cdot c_3.
Portanto \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{c_1,c_3\}. Uma base é
\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix},
e \dim(\operatorname{Im}(T))=2.

Passo 8

Resumo conceitual final (rápido): o núcleo é um subespaço de dimensão 2 gerado pelos vetores que encontrámos; a imagem é o subespaço coluna de A de dimensão 2 gerado por c_1 e c_3. Isso está de acordo com a redução por linhas e com rank–nullity.

Resposta

\ker(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}
Base de \ker(T): \left\{\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}
\dim(\ker(T))=2
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}\right\}
Base de \operatorname{Im}(T): \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}\right\}
\dim(\operatorname{Im}(T))=2

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