Atividade 9.2 A velocidade da luz diminui para 2,26 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} na água. Qual é a constante dielétrica da água?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da luz na água e pede a constante dielétrica (permintividade relativa) da água. Dados importantes fornecidos:
v = 2,26 \times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}
A questão: determinar a constante dielétrica relativa \varepsilon_{r} da água (valor adimensional).

Passo 2

Agora vamos lembrar as relações físicas que ligam velocidade, índice de refração e constante dielétrica. Existem duas fórmulas-chave:
n = \frac{c}{v}
onde n é o índice de refração, c é a velocidade da luz no vácuo e v é a velocidade da luz no meio; e
n = \sqrt{\varepsilon_{r}\,\mu_{r}}
onde \varepsilon_{r} é a constante dielétrica relativa (permitividade relativa) e \mu_{r} é a permeabilidade relativa do meio. Explico o que é cada símbolo:
  • c: velocidade da luz no vácuo (valor padrão).
  • v: velocidade da luz no meio (dado no enunciado).
  • n: índice de refração (adimensional).
  • \varepsilon_{r}: permissividade relativa (constante dielétrica) — é o que queremos.
  • \mu_{r}: permeabilidade relativa (medida do comportamento magnético do meio).

Passo 3

Fazer uma simplificação muito comum e válida para materiais não magnéticos (como a água na maioria das frequências ópticas): \mu_{r}\approx 1. Então a relação fica
n \approx \sqrt{\varepsilon_{r}}
ou, isolando \varepsilon_{r},
\varepsilon_{r} \approx n^{2}.
Essa aproximação significa que a constante dielétrica que calculamos é a permissividade relativa no regime óptico (alta frequência), não a permissividade estática (que, para água em corrente contínua, é muito maior).

Passo 4

Vamos calcular primeiro o índice de refração n usando a relação \;n = \dfrac{c}{v}\;. Para c uso o valor aproximado padrão
c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Assim
n = \frac{3,00\times10^{8}}{2,26\times10^{8}} = \frac{3,00}{2,26}.
Para facilitar a conta sem calculadora, multiplico numerador e denominador por 100:
\frac{3,00}{2,26} = \frac{300}{226} = \frac{150}{113}.
Agora aproximamos a divisão \dfrac{150}{113}. Como 113 \times 1 = 113 e sobra 37, logo o valor é 1 e resto 37. Convertendo para decimal rápido, \dfrac{150}{113}\approx 1,327. Portanto
n \approx 1,327.

Passo 5

Agora usamos \varepsilon_{r} \approx n^{2}. Podemos fazer isso exatamente com a fração \dfrac{150}{113}:
\varepsilon_{r} \approx \left(\frac{150}{113}\right)^{2} = \frac{22500}{12769}.
Calculando a divisão (ou elevando 1,327 ao quadrado) obtemos
\varepsilon_{r} \approx 1,761\\ (\text{adimensional}).
Arredondando para duas casas significativas (comum em física experimental), fica \varepsilon_{r}\approx 1,76.

Passo 6

Interpretação e observação final: esse valor \varepsilon_{r}\approx 1,76 corresponde à permissividade relativa da água na faixa óptica (frequências altas), porque foi obtido a partir do índice de refração óptico. Não confundir com a constante dielétrica estática da água à baixa frequência (onde \varepsilon_{r} é da ordem de 80).

Resposta

\varepsilon_{r}\approx 1,76

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