Exercício 9.4 Utilizando ondas eletromagnéticas, você não pode, em geral, resolver quaisquer estruturas que são menores que o comprimento de onda que você está utilizando. CD, DVD, e leitor de Blu-ray utilizam pequenos “pits” que codificam os 0’s e 1’s da informação digital armazenada neles - menores os “pits”, maior a informação
que você pode armazenar. Um DVD pode armazenar 4,7 \mathrm{~GB}, e um Blu-ray pode armazenar 25 GB. Se um leitor de DVD utiliza lasers que emitem luz vermelha e seu comprimento de onda está entre 640 nm e 660 nm , qual deve ser o comprimento de onda esperado e a cor do laser do Blu-ray?

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • Um DVD usa laser vermelho com comprimento de onda entre \,640\\ \text{nm} e \,660\\ \text{nm}.
  • Capacidade de um DVD: \,4,7\\ \text{GB}.
  • Capacidade de um Blu-ray: \,25\\ \text{GB}.
  • Pergunta: qual deve ser o comprimento de onda esperado e a cor do laser do Blu-ray?
    Observações explícitas dos dados: valores de comprimento de onda do DVD e as capacidades dos discos estão no enunciado e eu vou usá-los.

Passo 2

Entendendo a física básica (explicação didática, sem pular etapas):
  • Quando usamos luz para “ver” (ou gravar/lê) detalhes pequenos, a menor dimensão que dá para resolver é limitada pela difração.
  • A regra simples que vamos usar: a dimensão linear mínima resolvível (por exemplo, o diâmetro do ponto focal ou o comprimento mínimo do “pit”) é proporcional ao comprimento de onda da luz usada. Vou chamar esse comprimento típico de resolução linear de \ell e escrever
\ell \propto \lambda,
onde \lambda é o comprimento de onda.
  • Como a informação gravada na superfície é bidimensional (pits ocupam área), a densidade de informação por área (bits por unidade de área) escala aproximadamente como o inverso da área do ponto resolvível. Como a área típica do ponto é proporcional ao quadrado da dimensão linear, temos
\text{densidade} \propto \frac{1}{\ell^2} \quad\Rightarrow\quad \text{densidade} \propto \frac{1}{\lambda^2}.
  • Em linguagem simples: se a luz tem metade do comprimento de onda, o ponto focal linear fica ~metade, a área cai por 4, então você pode colocar ~4 vezes mais informação por área.
  • Nota: existem outros fatores práticos (apertura numérica da lente, espaçamento das trilhas, formatação, múltiplas camadas) que também alteram a capacidade, mas a ideia básica que usaremos para estimar é essa relação de proporcionalidade \text{capacidade} \propto 1/\lambda^2.

Passo 3

Traduzindo a proporcionalidade para uma fórmula útil:
  • Seja \lambda_D o comprimento de onda do DVD e \lambda_B o comprimento de onda necessário para o Blu-ray, e C_D, C_B as capacidades (em GB).
  • Da proporcionalidade \,C \propto 1/\lambda^2, podemos escrever (introduzindo uma constante de proporcionalidade que cancela):
\frac{C_B}{C_D} = \frac{\lambda_D^2}{\lambda_B^2}.
  • Isolando \lambda_B:
\lambda_B = \lambda_D \sqrt{\frac{C_D}{C_B}}.
Essa é a fórmula que vou aplicar.

Passo 4

Escolha numérica e justificativa:
  • O enunciado dá um intervalo para o laser do DVD: entre \,640\\ \text{nm} e \,660\\ \text{nm}. Para estimativa razoável tomo o valor médio
\lambda_D = 650\\ \text{nm},
porque é o valor central do intervalo e simplifica a conta sem perda de sentido físico.
  • Capacidades: C_D=4{,}7\\ \text{GB} e C_B=25\\ \text{GB}.

Passo 5

Cálculo passo a passo:
  • Compute a razão \dfrac{C_D}{C_B}:
\frac{C_D}{C_B}=\frac{4{,}7}{25}=0{,}188.
  • Tire a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{C_D}{C_B}}=\sqrt{0{,}188}\approx 0{,}4338.
(para chegar nesse número: \sqrt{0{,}19} é aproximadamente 0{,}435, então 0{,}4338 é coerente).
  • Agora calcule \lambda_B:
\lambda_B = 650\\ \text{nm}\times 0{,}4338 \approx 281{,}97\\ \text{nm}.
  • Arredondando, obtemos \lambda_B \approx 282\\ \text{nm}.

Passo 6

Interpretação física do resultado:
  • Um comprimento de onda de \,282\\ \text{nm} está na faixa do ultravioleta (UV), ou seja, além do violeta visível.
  • Conclusão teórica: se a única mudança fosse reduzir o comprimento de onda mantendo todo o resto igual, para aumentar a capacidade de 4{,}7\\ \text{GB} para 25\\ \text{GB} pelo fator puramente difratório calculado, precisaríamos de um comprimento de onda da ordem de \,282\\ \text{nm} — cor: ultravioleta.
  • Porém: na prática os fabricantes melhoram também outros parâmetros ópticos (aumentam a abertura numérica das lentes, diminuem o espaçamento entre trilhas, usam melhores técnicas de codificação e múltiplas camadas), de modo que não foi necessário usar UV. Por isso os leitores Blu-ray comerciais usam lasers de aproximadamente \,405\\ \text{nm}, que é violeta/azulada, não UV. Isso mostra a diferença entre uma estimativa simples baseada apenas na difração e a solução tecnológica final.

Resposta

Comprimento de onda esperado (pela estimativa simples C\propto1/\lambda^2): \,282\\ \text{nm} — cor: ultravioleta.
Comprimento de onda usado na prática no Blu-ray comercial: cerca de \,405\\ \text{nm} — cor: violeta (azulada).

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