Problema 9.2 Um solenoide cilíndrico de raio R e altura h consiste de N voltas. Há uma corrente através de cada volta, e essa corrente aumenta com o tempo de acordo com I=\alpha t, onde \alpha é uma constante. (a) Descreva as direções do campo elétrico, do campo magnético e do vetor de Poynting. (b) Determine o valor em módulo do vetor de Poynting a uma distância radial r=R do centro do eixo central do solenoide. (c) Utilize o resultado da parte (b) para derivar uma expressão para a potência que o solenoide recebe em função do tempo. (d) Utilizando a fórmula da indutância para um solenoide ideal, calcule a potência a partir da taxa de variação da energia magnética armazenada. Esse resultado concorda com sua resposta da parte (c)?

Passo 1

O enunciado dá um solenoide cilíndrico de raio R, altura h e com N voltas (assumimos as voltas distribuídas uniformemente ao longo da altura). Há uma corrente em cada volta que varia com o tempo segundo I=\alpha t, com \alpha constante. As perguntas são:
(a) descrever as direções do campo elétrico, do campo magnético e do vetor de Poynting;
(b) determinar o valor em módulo do vetor de Poynting à distância radial r=R do eixo do solenoide;
(c) usar o resultado de (b) para achar a potência que o solenoide recebe em função do tempo;
(d) calcular a potência a partir da taxa de variação da energia magnética armazenada usando a indutância de um solenoide ideal e comparar com (c).
Informações relevantes dadas: R,h,N,\alpha e I=\alpha t. Não há indicação de resistência ou dissipação; usamos o modelo de solenoide “ideal” (campo praticamente uniforme dentro e desprezível fora, quando o solenoide é longo). Aqui e adiante vou usar coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) com \hat r,\hat\varphi,\hat z como vetores unitários.

Passo 2

Campo magnético \vec B dentro do solenoide (fórmula e explicação).
Para um solenoide longo e ideal, o campo magnético dentro é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo ( \hat z). A densidade de voltas por unidade de comprimento é
n=\frac{N}{h},
onde N é o número total de voltas e h a altura. A expressão que usamos é
\vec B_{\text{dentro}}=\mu_0 n I\,\hat z.
Explicação didática: \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, n é quantas voltas por metro a gente tem (quanto maior n, mais campo por mesma corrente), e I é a corrente em cada volta. Fora do solenoide, no modelo ideal, \vec B\approx \vec 0.

Passo 3

Taxa de variação do campo magnético.
Como I=\alpha t, derivando em relação ao tempo:
\frac{\partial \vec B}{\partial t}=\mu_0 n \frac{dI}{dt}\,\hat z = \mu_0 n \alpha\,\hat z.
Isto significa que o campo \vec B cresce linearmente com t na direção \hat z (se \alpha>0).

Passo 4

Direção do campo elétrico \vec E (Faraday + Lenz) e expressão do módulo de \vec E para um raio genérico r.
Usamos a forma integral da lei de Faraday:
\oint_{\mathcal{C}} \vec E\cdot d\vec\ell = -\frac{d}{dt}\Phi_B,
onde \Phi_B é o fluxo magnético através da superfície limitada pela curva fechada \mathcal{C}. Escolhemos \mathcal{C} como uma circunferência de raio r centrada no eixo do solenoide. Por simetria \vec E é tangencial à circunferência (direção \hat\varphi) e depende só de r. Então \oint \vec E\cdot d\vec\ell = E_\varphi(r)\,2\pi r.
Agora o fluxo magnético é \Phi_B = B \times (\text{área penetrada por } \mathcal{C})á. Há dois casos:
  • Para r\le R (loop inteiro dentro da região onde o \vec B existe):
\Phi_B = B(t)\,\pi r^2.
Logo
E_\varphi(r)\,2\pi r = -\frac{d}{dt}\big(B\pi r^2\big) = -\pi r^2 \frac{dB}{dt}.
Assim
E_\varphi(r) = -\frac{r}{2}\frac{dB}{dt}.
  • Para r\ge R (loop externo ao solenoide; apenas a área do solenoide contribui):
\Phi_B = B(t)\,\pi R^2,
então
E_\varphi(r)\,2\pi r = -\pi R^2 \frac{dB}{dt}\quad\Rightarrow\quad E_\varphi(r) = -\frac{R^2}{2r}\frac{dB}{dt}.
Direção (sinal): o sinal negativo vem da lei de Faraday + convenção de orientação. Fisicamente, se a corrente real no solenoide aumenta e gera \vec B em +\hat z, a lei de Lenz diz que os campos elétricos induzidos circulam no sentido que geraria correntes que se opõem ao aumento de \vec B. Tomando o ângulo \varphi crescente no sentido anti-horário visto de cima, o vetor unitário \hat\varphi aponta anti-horário; o resultado acima dá E_\varphi<0 para \frac{dB}{dt}>0, ou seja \vec E aponta no sentido -\hat\varphi (sentido horário) quando B aumenta para +\hat z.
Resumo didático da direção: \vec E é puramente azimutal (circunda o eixo), do tipo \vec E = E_\varphi(r)\,\hat\varphi, e seu sentido (horário/anti-horário) é tal que o efeito induzido se opõe à variação de \vec B (Lenz).

Passo 5

Vetor de Poynting \vec S: direção e significado físico.
Em unidades SI:
\vec S = \frac{1}{\mu_0}\,\vec E\times \vec B.
No contorno do solenoide em r=R temos \vec E tangencial ( \hat\varphi) e \vec B axial ( \hat z). Usando as relações de produto vetorial em coordenadas cilíndricas:
\hat\varphi\times \hat z = \hat r.
Como vimos, para \frac{dB}{dt}>0 o campo induzido tem \vec E no sentido -\hat\varphi. Então
\vec S = \frac{1}{\mu_0}(-E_\varphi\,\hat\varphi)\times (B\,\hat z) = -\frac{E_\varphi B}{\mu_0}\,\hat r.
Como E_\varphi é negativo, o produto -E_\varphi B/\mu_0 é positivo e o vetor resultante aponta na direção -\hat r (radial para dentro). Conclusão didática: a energia eletromagnética flui radialmente para o interior do solenoide — ou seja, a energia entra pela superfície lateral do cilindro e vai para o campo e/ou para alimentar o circuito (dependendo se há dissipação). Isso é a maneira pela qual a fonte externa “empurra” energia para dentro através do campo eletromagnético.

Passo 6

Cálculo do módulo do \vec S em r=R.
Primeiro, tomamos a expressão de E_\varphi(r) para r\le R e avaliamos em r=R:
E_\varphi(R) = -\frac{R}{2}\frac{dB}{dt}.
Já sabemos \dfrac{dB}{dt}=\mu_0 n \alpha (Passo 3). Então
E_\varphi(R) = -\frac{R}{2}\,\mu_0 n \alpha.
O módulo do campo magnético em r=R (dentro) é
B(R) = \mu_0 n I = \mu_0 n \alpha t.
O módulo do vetor de Poynting é
| \vec S | = \frac{1}{\mu_0}\,|E_\varphi(R)|\,|B(R)|.
Substituindo:
| \vec S | = \frac{1}{\mu_0}\left(\frac{R}{2}\mu_0 n \alpha\right)\left(\mu_0 n \alpha t\right).
Simplificando:
| \vec S | = \frac{R}{2}\,\mu_0\,n^2\,\alpha^2\,t.
Observação: \vec S aponta radialmente para dentro (direção -\hat r), como explicado no passo anterior.

Passo 7

Potência recebida pelo solenoide usando o fluxo de Poynting (parte (c)).
A potência que entra no volume do solenoide através da superfície lateral é a integral do fluxo de Poynting através dessa superfície. A superfície lateral tem área A_{\text{lat}}=2\pi R h e em cada ponto o fluxo (para dentro) tem magnitude |\vec S|. Assim a potência recebida é
P(t)= |\vec S|\times 2\pi R h.
Substituindo |\vec S| do passo anterior:
P(t)=\left(\frac{R}{2}\mu_0 n^2 \alpha^2 t\right)2\pi R h = \mu_0 n^2 \alpha^2 t\,\pi R^2 h.
Podemos reescrever em termos de N usando n=N/h:
P(t)=\mu_0 \alpha^2 t\,\frac{\pi R^2 N^2}{h}.
Interpretação: essa é a potência que o campo transporta para dentro pelo lado do solenoide no instante t.

Passo 8

Potência obtida pela taxa de variação da energia magnética armazenada (parte (d)) e comparação.
Indutância do solenoide ideal: área da seção A=\pi R^2 e n=N/h, a indutância é
L=\mu_0 n^2 A h=\mu_0 n^2 \pi R^2 h.
Energia magnética armazenada no campo:
U=\frac{1}{2}L I^2.
A taxa de variação dessa energia é
\frac{dU}{dt} = \frac{1}{2}L\cdot 2 I\frac{dI}{dt} = L I \frac{dI}{dt}.
Como I=\alpha t e \dfrac{dI}{dt}=\alpha, temos
\frac{dU}{dt} = L \,(\alpha t)\,\alpha = L \alpha^2 t.
Substituindo L=\mu_0 n^2 \pi R^2 h,
\frac{dU}{dt} = \mu_0 n^2 \alpha^2 t\,\pi R^2 h,
que é exatamente o P(t) obtido no Passo 7. Portanto os dois resultados coincidem: a potência que entra pelo fluxo de Poynting é igual à taxa de aumento da energia magnética armazenada no solenoide (não houve dissipação no enunciado, então toda a potência entregue vai para o campo).

Resposta

(a) \vec B aponta ao longo do eixo do solenoide, \vec B=\mu_0 n I\,\hat z (dentro do solenoide) e é desprezível fora; \vec E é azimutal (circunda o eixo), \vec E=E_\varphi(r)\,\hat\varphi com sentido tal que se opõe à variação de \vec B (para \frac{dB}{dt}>0 tem sentido -\hat\varphi, i.e. horário visto de cima); o vetor de Poynting \vec S=\frac{1}{\mu_0}\vec E\times\vec B aponta radialmente para dentro ( -\hat r) na superfície do solenoide.
(b) |\vec S(r=R)|=\dfrac{R}{2}\,\mu_0\,n^2\,\alpha^2\,t, onde n=\dfrac{N}{h}.
(c) P(t)=\mu_0 n^2 \alpha^2 t\,\pi R^2 h=\mu_0 \alpha^2 t\,\dfrac{\pi R^2 N^2}{h}.
(d) Com L=\mu_0 n^2\pi R^2 h tem \dfrac{dU}{dt}=L\alpha^2 t=\mu_0 n^2 \alpha^2 t\,\pi R^2 h, que coincide com o resultado da parte (c).

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