Problema 9.2 Um solenoide cilíndrico de raio
e altura
consiste de
voltas. Há uma corrente através de cada volta, e essa corrente aumenta com o tempo de acordo com
, onde
é uma constante. (a) Descreva as direções do campo elétrico, do campo magnético e do vetor de Poynting. (b) Determine o valor em módulo do vetor de Poynting a uma distância radial
do centro do eixo central do solenoide. (c) Utilize o resultado da parte (b) para derivar uma expressão para a potência que o solenoide recebe em função do tempo. (d) Utilizando a fórmula da indutância para um solenoide ideal, calcule a potência a partir da taxa de variação da energia magnética armazenada. Esse resultado concorda com sua resposta da parte (c)?
Passo 1
O enunciado dá um solenoide cilíndrico de raio
, altura
e com
voltas (assumimos as voltas distribuídas uniformemente ao longo da altura). Há uma corrente em cada volta que varia com o tempo segundo
, com
constante. As perguntas são:
(a) descrever as direções do campo elétrico, do campo magnético e do vetor de Poynting;
(b) determinar o valor em módulo do vetor de Poynting à distância radial do eixo do solenoide;
(c) usar o resultado de (b) para achar a potência que o solenoide recebe em função do tempo;
(d) calcular a potência a partir da taxa de variação da energia magnética armazenada usando a indutância de um solenoide ideal e comparar com (c).
(a) descrever as direções do campo elétrico, do campo magnético e do vetor de Poynting;
(b) determinar o valor em módulo do vetor de Poynting à distância radial
(c) usar o resultado de (b) para achar a potência que o solenoide recebe em função do tempo;
(d) calcular a potência a partir da taxa de variação da energia magnética armazenada usando a indutância de um solenoide ideal e comparar com (c).
Informações relevantes dadas:
e
. Não há indicação de resistência ou dissipação; usamos o modelo de solenoide “ideal” (campo praticamente uniforme dentro e desprezível fora, quando o solenoide é longo). Aqui e adiante vou usar coordenadas cilíndricas
com
como vetores unitários.
Passo 2
Campo magnético
dentro do solenoide (fórmula e explicação).
Para um solenoide longo e ideal, o campo magnético dentro é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo ( ). A densidade de voltas por unidade de comprimento é
Para um solenoide longo e ideal, o campo magnético dentro é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo (
onde
é o número total de voltas e
a altura. A expressão que usamos é
Explicação didática:
é a permeabilidade do vácuo,
é quantas voltas por metro a gente tem (quanto maior
, mais campo por mesma corrente), e
é a corrente em cada volta. Fora do solenoide, no modelo ideal,
.
Passo 3
Taxa de variação do campo magnético.
Como , derivando em relação ao tempo:
Como
Isto significa que o campo
cresce linearmente com
na direção
(se
).
Passo 4
Direção do campo elétrico
(Faraday + Lenz) e expressão do módulo de
para um raio genérico
.
Usamos a forma integral da lei de Faraday:
Usamos a forma integral da lei de Faraday:
onde
é o fluxo magnético através da superfície limitada pela curva fechada
. Escolhemos
como uma circunferência de raio
centrada no eixo do solenoide. Por simetria
é tangencial à circunferência (direção
) e depende só de
. Então
.
Agora o fluxo magnético é
. Há dois casos:
- Para
(loop inteiro dentro da região onde o existe):
Logo
Assim
- Para
(loop externo ao solenoide; apenas a área do solenoide contribui):
então
Direção (sinal): o sinal negativo vem da lei de Faraday + convenção de orientação. Fisicamente, se a corrente real no solenoide aumenta e gera
em
, a lei de Lenz diz que os campos elétricos induzidos circulam no sentido que geraria correntes que se opõem ao aumento de
. Tomando o ângulo
crescente no sentido anti-horário visto de cima, o vetor unitário
aponta anti-horário; o resultado acima dá
para
, ou seja
aponta no sentido
(sentido horário) quando
aumenta para
.
Resumo didático da direção:
é puramente azimutal (circunda o eixo), do tipo
, e seu sentido (horário/anti-horário) é tal que o efeito induzido se opõe à variação de
(Lenz).
Passo 5
Vetor de Poynting
: direção e significado físico.
Em unidades SI:
Em unidades SI:
No contorno do solenoide em
temos
tangencial (
) e
axial (
). Usando as relações de produto vetorial em coordenadas cilíndricas:
Como vimos, para
o campo induzido tem
no sentido
. Então
Como
é negativo, o produto
é positivo e o vetor resultante aponta na direção
(radial para dentro). Conclusão didática: a energia eletromagnética flui radialmente para o interior do solenoide — ou seja, a energia entra pela superfície lateral do cilindro e vai para o campo e/ou para alimentar o circuito (dependendo se há dissipação). Isso é a maneira pela qual a fonte externa “empurra” energia para dentro através do campo eletromagnético.
Passo 6
Cálculo do módulo do
em
.
Primeiro, tomamos a expressão de para
e avaliamos em
:
Primeiro, tomamos a expressão de
Já sabemos
(Passo 3). Então
O módulo do campo magnético em
(dentro) é
O módulo do vetor de Poynting é
Substituindo:
Simplificando:
Observação:
aponta radialmente para dentro (direção
), como explicado no passo anterior.
Passo 7
Potência recebida pelo solenoide usando o fluxo de Poynting (parte (c)).
A potência que entra no volume do solenoide através da superfície lateral é a integral do fluxo de Poynting através dessa superfície. A superfície lateral tem área e em cada ponto o fluxo (para dentro) tem magnitude
. Assim a potência recebida é
A potência que entra no volume do solenoide através da superfície lateral é a integral do fluxo de Poynting através dessa superfície. A superfície lateral tem área
Substituindo
do passo anterior:
Podemos reescrever em termos de
usando
:
Interpretação: essa é a potência que o campo transporta para dentro pelo lado do solenoide no instante
.
Passo 8
Potência obtida pela taxa de variação da energia magnética armazenada (parte (d)) e comparação.
Indutância do solenoide ideal: área da seção e
, a indutância é
Indutância do solenoide ideal: área da seção
Energia magnética armazenada no campo:
A taxa de variação dessa energia é
Como
e
, temos
Substituindo
,
que é exatamente o
obtido no Passo 7. Portanto os dois resultados coincidem: a potência que entra pelo fluxo de Poynting é igual à taxa de aumento da energia magnética armazenada no solenoide (não houve dissipação no enunciado, então toda a potência entregue vai para o campo).
Resposta
(a)
aponta ao longo do eixo do solenoide,
(dentro do solenoide) e é desprezível fora;
é azimutal (circunda o eixo),
com sentido tal que se opõe à variação de
(para
tem sentido
, i.e. horário visto de cima); o vetor de Poynting
aponta radialmente para dentro (
) na superfície do solenoide.
(b) , onde
.
(c)
(d) Com tem
, que coincide com o resultado da parte (c).
(b)
(c)
(d) Com