Exercício 5:
Em um circuito RC (Resistor-Capacitor) a carga armazenada no capacitor é
Passo 1
O enunciado nos deu a expressão da carga no capacitor como função do tempo:
Informações explícitas fornecidas:
Como o enunciado não pergunta algo específico, vou fazer o seguinte (tudo o que segue é habitual pedir-se para esse enunciado em prova): (A) derivar essa expressão a partir das leis do circuito, (B) obter a corrente
, (C) obter a tensão no capacitor
, (D) calcular
e
, (E) definir a constante de tempo e interpretar, (F) achar tempos típicos (por exemplo tempo para atingir
e
), e (G) dar a energia armazenada no capacitor. Essas são as perguntas que vou resolver passo a passo.
Passo 2
Modelagem do circuito e equações básicas — o que valem aqui.
- Quando um capacitor está sendo carregado por uma fonte de tensão
através de um resistor , a corrente instantânea que passa pelo resistor é a derivada da carga:
- A tensão no capacitor é relacionada à carga por
- Aplicando a Lei de Kirchhoff ao laço (fonte
, resistor , capacitor ) obtemos a soma algébrica de tensões nula:
Essas três fórmulas são as bases para montar a equação diferencial que governa
.
Passo 3
Montando a equação diferencial para
.
Substituímos e
na equação de Kirchhoff:
Substituímos
Reorganizando,
Dividindo por
para deixar na forma padrão:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem em
.
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial usando fator integrante.
A equação é
A equação é
O fator integrante é
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo é derivada de um produto:
Passo 5
Integração e obtenção da solução geral.
Integramos em :
Integramos em
onde
é constante de integração. A integral no lado direito é
Logo
Dividindo por
obtemos a solução geral
Passo 6
Aplicando a condição inicial e obter a constante.
No instante , supondo que o capacitor está descarregado inicialmente (condição usual em exercícios), temos
No instante
Substituindo em
:
Logo
Substituindo de volta:
que coincide com a expressão dada no enunciado. Pronto: derivamos a fórmula.
Passo 7
Obtenção da corrente
e interpretação física.
Como , derivamos a expressão de
:
Como
Simplificando,
Interpretações rápidas: em
a corrente inicial é
e quando
a corrente tende a zero — o capacitor fica totalmente carregado e não passa corrente contínua.
Passo 8
Tensão no capacitor e limites de
.
A tensão no capacitor é
A tensão no capacitor é
Limites importantes:
Ou seja, o capacitor parte de carga nula e vai para a carga máxima
.
Passo 9
Constante de tempo
e tempos característicos.
Define-se a constante de tempo
Define-se a constante de tempo
Ela tem significado prático: em
a função exponencial
, então
ou seja, após um intervalo
o capacitor atingiu cerca de
da carga final. Para atingir
basta resolver
Passo 10
Energia armazenada no capacitor.
A energia elétrica armazenada num capacitor em função da tensão é
A energia elétrica armazenada num capacitor em função da tensão
Substituindo
:
No regime estacionário (
) a energia armazenada é
Resposta
Tempo para