Exercício 5:

Em um circuito RC (Resistor-Capacitor) a carga armazenada no capacitor é
Q(t)=V_{0} C\left(1-e^{-t / R C}\right)

Passo 1

O enunciado nos deu a expressão da carga no capacitor como função do tempo:
Q(t)=V_{0}C\left(1-e^{-t/RC}\right).
Informações explícitas fornecidas:
\text{dados: }V_{0},\;R,\;C,\;Q(t)=V_{0}C\left(1-e^{-t/RC}\right).
Como o enunciado não pergunta algo específico, vou fazer o seguinte (tudo o que segue é habitual pedir-se para esse enunciado em prova): (A) derivar essa expressão a partir das leis do circuito, (B) obter a corrente I(t), (C) obter a tensão no capacitor V_{C}(t), (D) calcular Q(0) e Q(\infty), (E) definir a constante de tempo e interpretar, (F) achar tempos típicos (por exemplo tempo para atingir 63{,}2\% e 90\%), e (G) dar a energia armazenada no capacitor. Essas são as perguntas que vou resolver passo a passo.

Passo 2

Modelagem do circuito e equações básicas — o que valem aqui.
  • Quando um capacitor está sendo carregado por uma fonte de tensão V_{0} através de um resistor R, a corrente instantânea que passa pelo resistor é a derivada da carga:
I(t)=\frac{dQ}{dt}.
  • A tensão no capacitor é relacionada à carga por
V_{C}(t)=\frac{Q(t)}{C}.
  • Aplicando a Lei de Kirchhoff ao laço (fonte V_{0}, resistor R, capacitor C) obtemos a soma algébrica de tensões nula:
V_{0}-R\,I(t)-V_{C}(t)=0.
Essas três fórmulas são as bases para montar a equação diferencial que governa Q(t).

Passo 3

Montando a equação diferencial para Q(t).
Substituímos I(t)=\dfrac{dQ}{dt} e V_{C}(t)=\dfrac{Q}{C} na equação de Kirchhoff:
V_{0}-R\frac{dQ}{dt}-\frac{Q}{C}=0.
Reorganizando,
R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=V_{0}.
Dividindo por R para deixar na forma padrão:
\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{RC}\,Q=\frac{V_{0}}{R}.
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem em Q(t).

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial usando fator integrante.
A equação é
\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{RC}Q=\frac{V_{0}}{R}.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int \frac{1}{RC}\,dt}=e^{t/(RC)}.
Multiplicando toda a equação por \mu(t):
e^{t/(RC)}\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{RC}e^{t/(RC)}Q=\frac{V_{0}}{R}e^{t/(RC)}.
O lado esquerdo é derivada de um produto:
\frac{d}{dt}\left(e^{t/(RC)}Q\right)=\frac{V_{0}}{R}e^{t/(RC)}.

Passo 5

Integração e obtenção da solução geral.
Integramos em t:
e^{t/(RC)}Q(t)=\int \frac{V_{0}}{R}e^{t/(RC)}\,dt + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. A integral no lado direito é
\int \frac{V_{0}}{R}e^{t/(RC)}\,dt=\frac{V_{0}}{R}\cdot RC\,e^{t/(RC)}=V_{0}C\,e^{t/(RC)}.
Logo
e^{t/(RC)}Q(t)=V_{0}C\,e^{t/(RC)}+C_{1}.
Dividindo por e^{t/(RC)} obtemos a solução geral
Q(t)=V_{0}C + C_{1}e^{-t/(RC)}.

Passo 6

Aplicando a condição inicial e obter a constante.
No instante t=0, supondo que o capacitor está descarregado inicialmente (condição usual em exercícios), temos
Q(0)=0.
Substituindo em Q(t):
0=V_{0}C + C_{1}e^{0}=V_{0}C + C_{1}.
Logo
C_{1}=-V_{0}C.
Substituindo de volta:
Q(t)=V_{0}C - V_{0}C\,e^{-t/(RC)}=V_{0}C\left(1-e^{-t/(RC)}\right),
que coincide com a expressão dada no enunciado. Pronto: derivamos a fórmula.

Passo 7

Obtenção da corrente I(t) e interpretação física.
Como I(t)=\dfrac{dQ}{dt}, derivamos a expressão de Q(t):
I(t)=\frac{d}{dt}\left[V_{0}C\left(1-e^{-t/(RC)}\right)\right]=V_{0}C\cdot\left(0 -\left(-\frac{1}{RC}\right)e^{-t/(RC)}\right).
Simplificando,
I(t)=\frac{V_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}.
Interpretações rápidas: em t=0 a corrente inicial é
I(0)=\frac{V_{0}}{R},
e quando t\to\infty a corrente tende a zero — o capacitor fica totalmente carregado e não passa corrente contínua.

Passo 8

Tensão no capacitor e limites de Q(t).
A tensão no capacitor é
V_{C}(t)=\frac{Q(t)}{C}=V_{0}\left(1-e^{-t/(RC)}\right).
Limites importantes:
Q(0)=V_{0}C(1-1)=0,
Q(\infty)=\lim_{t\to\infty}V_{0}C\left(1-e^{-t/(RC)}\right)=V_{0}C.
Ou seja, o capacitor parte de carga nula e vai para a carga máxima V_{0}C.

Passo 9

Constante de tempo \tau e tempos característicos.
Define-se a constante de tempo
\tau=RC.
Ela tem significado prático: em t=\tau a função exponencial e^{-t/\tau}=e^{-1}\approx0{,}3679, então
Q(\tau)=V_{0}C\left(1-e^{-1}\right)\approx V_{0}C\cdot 0{,}6321,
ou seja, após um intervalo \tau o capacitor atingiu cerca de 63{,}2\% da carga final. Para atingir 90\% basta resolver
1-e^{-t/\tau}=0{,}9\implies e^{-t/\tau}=0{,}1\implies t=-\tau\ln(0{,}1)=\tau\ln(10)\approx 2{,}3026\,\tau.

Passo 10

Energia armazenada no capacitor.
A energia elétrica armazenada num capacitor em função da tensão V_{C} é
U(t)=\frac{1}{2}C\left(V_{C}(t)\right)^{2}.
Substituindo V_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-t/(RC)}\right):
U(t)=\frac{1}{2}C V_{0}^{2}\left(1-e^{-t/(RC)}\right)^{2}.
No regime estacionário ( t\to\infty) a energia armazenada é
U(\infty)=\frac{1}{2}C V_{0}^{2}.

Resposta

Q(t)=V_{0}C\left(1-e^{-t/(RC)}\right)
I(t)=\dfrac{V_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}
V_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-t/(RC)}\right)
Q(0)=0 e Q(\infty)=V_{0}C
\tau=RC (constante de tempo), com Q(\tau)\approx0{,}632\,V_{0}C
Tempo para 90\%: t=\tau\ln(10)\approx2{,}3026\,\tau
U(t)=\dfrac{1}{2}C V_{0}^{2}\left(1-e^{-t/(RC)}\right)^{2} e U(\infty)=\dfrac{1}{2}C V_{0}^{2}

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