Um atleta percorre uma pista de 100 m de modo que a distância \mathrm{S}(\mathrm{t}) percorrida após t segundos é dada por S(t)=\frac{1}{5} t^{2}+8 t metros. Determine a velocidade do atleta.
a) no início da corrida.
b) quando \mathrm{t}=5 segundos.
c) na reta final.

Passo 1

O enunciado dá a posição do atleta em função do tempo
S(t)=\frac{1}{5}\,t^{2}+8\,t
e pede a velocidade nos instantes: início da corrida, t=5 s e na reta final (quando ele completa os 100 m). Para isso vamos usar derivada, pois a velocidade instantânea é
v(t)=S'(t).

Passo 2

A velocidade instantânea é a derivada de S(t). Calculando
v(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{1}{5}t^{2}+8t\Bigr)
a derivada de \tfrac{1}{5}t^{2} é \tfrac{2}{5}t e a de 8t é 8, logo
v(t)=\frac{2}{5}t+8.

Passo 3

Para o início da corrida, em t=0:
v(0)=\frac{2}{5}\cdot0+8=8\\ \mathrm{m/s}.
Para t=5 s:
v(5)=\frac{2}{5}\cdot5+8=2+8=10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Na reta final corresponde ao instante em que S(t)=100 m. Resolvendo
\frac{1}{5}t^{2}+8t=100
multiplicando por 5:
t^{2}+40t-500=0,
pela fórmula de Bhaskara a raiz positiva é t=10 s. Então
v(10)=\frac{2}{5}\cdot10+8=4+8=12\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 8\\ \mathrm{m/s}
(b) 10\\ \mathrm{m/s}
(c) 12\\ \mathrm{m/s}

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