Uma bola desce um plano inclinado de modo que a distância (cm) que ela percorre em t segundos é dada por S(t)=2 t^{3}+3 t^{2}+4 para 0 \leq t \leq 3.
a) Determine a velocidade da bola em \mathrm{t}=2 segundos.
b) Em que instante a velocidade é 30 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} ?
c) Determine a aceleração da bola em \mathrm{t}=1 segundos.
d) Determine o instante em que a aceleração é de 8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da bola no plano inclinado em função do tempo:
S(t)=2\,t^{3}+3\,t^{2}+4,\quad 0\le t\le3.
Para resolver precisamos do conceito de derivada: a velocidade é v(t)=S'(t) e a aceleração é a(t)=v'(t)=S''(t).

Passo 2

Derivamos S(t) para obter a velocidade:
v(t)=S'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2\,t^{3}+3\,t^{2}+4\bigr) =6\,t^{2}+6\,t.

Passo 3

Usamos v(t) para as partes (a) e (b):
(a) Em t=2:
v(2)=6\cdot2^{2}+6\cdot2=6\cdot4+12=24+12=36\text{ cm/s}.
(b) Para v(t)=30:
6\,t^{2}+6\,t=30 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}+t-5=0.
As raízes são
t=\frac{-1\pm\sqrt{1+20}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.
Como t\ge0, escolhemos
t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\approx1{,}79\text{ s}.

Passo 4

Derivamos v(t) para obter a aceleração:
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(6\,t^{2}+6\,t\bigr) =12\,t+6.

Passo 5

Usamos a(t) para as partes (c) e (d):
(c) Em t=1:
a(1)=12\cdot1+6=18\text{ cm/s}^{2}.
(d) Para a(t)=8:
12\,t+6=8 \quad\Longrightarrow\quad 12\,t=2 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{6}\text{ s}.

Resposta

(a) \;36\text{ cm/s}
(b) \;t=\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2}\approx1{,}79\text{ s}
(c) \;18\text{ cm/s}^{2}
(d) \;t=\dfrac{1}{6}\text{ s}

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