Um projétil é lançado do solo com uma velocidade inicial de 112 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Após t segundos, sua distância do solo é de S(t)=112 t-4,9 t^{2} metros.
a) Encontre a velocidade do projétil para \mathrm{t}=2 e \mathrm{t}=5.
b) Encontre a velocidade no momento em que ele toca o solo.
c) Encontre a aceleração do projétil para \mathrm{t}=1 e \mathrm{t}=4.
d) Encontre a aceleração no momento em que ele toca o solo.

Passo 1

O enunciado dá a altura do projétil em função do tempo t segundos por
S(t)=112t-4,9t^{2}
e pede para encontrar a velocidade e a aceleração em certos instantes. O conteúdo aqui é derivação de funções: a velocidade é a primeira derivada de S(t) e a aceleração é a segunda derivada de S(t).

Passo 2

Calculamos a velocidade v(t) derivando S(t):
v(t)=S'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(112t-4,9t^{2}\bigr)=112-9,8t.

Passo 3

Para t=2 e t=5, basta substituir em v(t):
v(2)=112-9,8\cdot 2=112-19,6=92,4\text{ m/s},
v(5)=112-9,8\cdot 5=112-49=63\text{ m/s}.

Passo 4

O projétil toca o solo quando S(t)=0 (além de t=0), resolvendo
112t-4,9t^{2}=0\;\Longrightarrow\;t\bigl(112-4,9t\bigr)=0\;\Longrightarrow\;t=\frac{112}{4,9}\approx22{,}857\text{ s}.
A velocidade nesse instante é
v\bigl(22{,}857\bigr)=112-9,8\cdot 22{,}857=112-224=-112\text{ m/s}.

Passo 5

A aceleração a(t) é a derivada de v(t):
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(112-9,8t\bigr)=-9,8\text{ m/s}^{2},
ou seja, constante.

Passo 6

Para t=1 e t=4, como a(t) é constante, temos
a(1)=-9,8\text{ m/s}^{2},\quad a(4)=-9,8\text{ m/s}^{2}.

Passo 7

No momento do impacto (quando toca o solo), a aceleração continua a mesma, pois é constante:
a=-9,8\text{ m/s}^{2}.

Resposta

a) v(2)=92,4 m/s e v(5)=63 m/s.
b) No impacto ( t\approx22,857 s), v=-112 m/s.
c) a(1)=-9,8 m/s ^2 e a(4)=-9,8 m/s ^2.
d) No impacto, a=-9,8 m/s ^2.

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