De um balão a 150 m acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. Desprezando-se a resistência do ar, a distância \mathrm{S}(\mathrm{t}) do solo ao saco de areia em queda, após t segundos, é dada por S(t)=-4,9 t^{2}+150. Determinar a velocidade do saco de areia:
a) Quando \mathrm{t}=2 segundos.
b) No instante em que ele toca o solo.

Passo 1

O enunciado nos dá a altura do saco acima do solo em função do tempo:
S(t) = -4,9\,t^{2} + 150
onde S(t) está em metros e t em segundos. Queremos a velocidade do saco, que é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Para obter a velocidade v(t), basta calcular
v(t) = S'(t).
Como
S(t) = -4,9\,t^{2} + 150,
temos
v(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-4,9\,t^{2} + 150\bigr) = -9,8\,t.

Passo 3

(a) No instante t = 2 s,
v(2) = -9,8 \times 2 = -19,6\\ \text{m/s}.
O sinal negativo indica que o saco está se movendo para baixo com rapidez de 19,6 m/s.

Passo 4

(b) Para achar o instante em que o saco toca o solo, resolvemos S(t)=0:
-4,9\,t^{2} + 150 = 0
t^{2} = \frac{150}{4,9}
t = \sqrt{\frac{150}{4,9}}\approx 5,533\\ \text{s}.

Passo 5

Agora, a velocidade nesse instante é
v\bigl(5,533\bigr) = -9,8 \times 5,533 \approx -54,23\\ \text{m/s}.
Novamente o sinal negativo indica direção para baixo.

Resposta

(a) v(2) = -19,6\\ \text{m/s}.
(b) Quando toca o solo, v\approx -54,23\\ \text{m/s}.

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