A lei de Boyle para os gases confinados afirma que se a temperatura permanece constante, então P V=C, onde P é a pressão, V o volume e C uma constante. Suponha que no instante t (minutos) V(t)=\frac{1200}{20+2 t} para 0 \leq t \leq 10. Determine a taxa na qual o volume varia em relação ao tempo quando t=5 minutos.

Passo 1

O enunciado dá a função volume
V(t)=\frac{1200}{20+2t}
em que t está em minutos, e pede a taxa de variação \frac{dV}{dt} no instante t=5.

Passo 2

Para achar \frac{dV}{dt} usamos a regra da cadeia. Primeiro reescrevemos
V(t)=1200\,(20+2t)^{-1}.
Aplicando a derivada:
\frac{dV}{dt} =1200\cdot(-1)\,(20+2t)^{-2}\cdot\frac{d}{dt}(20+2t) =1200\cdot(-1)\,(20+2t)^{-2}\cdot2 =-2400\,(20+2t)^{-2}.

Passo 3

Agora avaliamos em t=5:
\frac{dV}{dt}\Big|_{t=5} =-2400\,(20+2\cdot5)^{-2} =-2400\,(30)^{-2} =-2400/900 =-\frac{8}{3}.

Resposta

A taxa de variação do volume em t=5 minutos é -\tfrac{8}{3} unidades de volume por minuto.

Exercícios relacionados