Um atleta possui a metade da energia cinética de um garoto que possui metade da massa do atleta. O homem aumenta sua velocidade de 2,0 m / s passando a ter o dobro da energia cinética do garoto. Calcule:

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício nos diz e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos um atleta e um garoto com massas e energias cinéticas relacionadas. Especificamente:
  • Massas:
    • O garoto tem metade da massa do atleta.
  • Energias Cinéticas:
    • Inicialmente, a energia cinética do atleta é a metade da energia cinética do garoto.
    • O atleta aumenta sua velocidade em Ec = 12 m v^2 e, depois desse aumento, sua energia cinética passa a ser o dobro da energia cinética do garoto.
Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula da energia cinética:
onde:
  • é a energia cinética,
  • é a massa,
  • é a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja a massa do atleta.
  • Então, a massa do garoto será .
  • Seja a velocidade inicial do atleta.
  • Seja a velocidade do garoto.

Passo 3

De acordo com o enunciado, a energia cinética inicial do atleta é a metade da energia cinética do garoto. Podemos escrever isso como:
Eca = 12 Ecg
Substituindo a fórmula da energia cinética:
12 ma va^2 = 12 ( 12 ma ) vg^2

Passo 4

Simplificando a equação acima:
12 ma va^2 = 14 ma vg^2
Podemos cancelar 12 va^2 = 14 vg^2 dos dois lados:
2 va^2 = vg^2
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar as frações:
vg = raiz2 va
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 5

Agora, o atleta aumenta sua velocidade em 12 ma (va + 2)^2 = 2 times 12 mg vg^2 , ficando com 12 ma (va + 2)^2 = mg vg^2 . A nova energia cinética do atleta é o dobro da energia cinética do garoto:
12 ma (va + 2)^2 = 12 ma (raiz2 va)^2
Simplificando:
Sabemos que e que . Substituindo na equação:

Passo 6

Simplificando a equação:
12 ma (va + 2)^2 = 12 ma (2 va^2)
Cancelando (va + 2)^2 = 2 va^2 dos dois lados:
va^2 + 4 va + 4 = 2 va^2
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 7

Reorganizando a equação:
va^2 - 4 va - 4 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar va = 4 pm raiz(−4)^2 - 4 times 1 times (-4)2 times 1 = 4 pm raiz16 + 162 = 4 pm raiz322 . Usando a fórmula de Bhaskara:
va = 4 pm 4 raiz22 = 2 pm 2 raiz2
Simplificando:
va = 2 + 2 raiz2, m/s approx 4,83, m/s
Como velocidade não pode ser negativa, descartamos a solução negativa:

Resposta

A velocidade inicial do atleta é aproximadamente e a velocidade do garoto é .

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