Um atleta possui a metade da energia cinética de um garoto que possui metade da massa do atleta. O homem aumenta sua velocidade de 2,0 m / s passando a ter o dobro da energia cinética do garoto. Calcule: (a) a velocidade inicial do garoto e do atleta, (b) a variação da energia cinética do atleta e o trabalho realizado por seus músculos.

Passo 1

O enunciado envolve energia cinética, cuja expressão é
K = tfrac12,m,v^2
Temos um atleta de massa M e um garoto de massa m, com m = tfrac12,M. Denotamos por u a velocidade inicial do atleta e por v a do garoto. Inicialmente o atleta tem metade da energia cinética do garoto e, depois de aumentar sua velocidade em 2,0,m/s, sua energia cinética passa a ser o dobro da do garoto. Precisamos achar (a) u e v iniciais e (b) a variação De<a K do atleta e o trabalho que ele realizou.

Passo 2

A condição inicial “atleta tem metade da energia cinética do garoto” escreve-se
KAi = tfrac12,KG Longrightarrow tfrac12,M,u^2 = tfrac12l(tfrac12,m,v^2r)
Substituindo m = tfrac12,M obtemos
tfrac12,M,u^2 = tfrac12l(tfrac12,tfrac12,M,v^2r) = tfrac18,M,v^2 Longrightarrow u^2 = tfrac14,v^2 Longrightarrow v = 2,u

Passo 3

Depois do aumento de velocidade de 2,0,m/s, a velocidade do atleta fica u+2. A nova condição “energia cinética do atleta é o dobro da do garoto” é
KAf = 2,KG Longrightarrow tfrac12,M,(u+2)^2 = 2l(tfrac12,m,v^2r) = m,v^2
Substituindo m=tfrac12,M e v=2u vem
tfrac12,M,(u+2)^2 = tfrac12,M,(2u)^2 Longrightarrow (u+2)^2 = 4,u^2

Passo 4

Expandindo e rearranjando
u^2 + 4,u + 4 = 4,u^2 Longrightarrow 3,u^2 - 4,u - 4 = 0
Resolvendo a equação quadrática
u = 4 pm raiz4^2 + 4cdot3cdot42cdot3 = 4 pm 86,
a solução física é u = 2,0,m/s (descartamos a raiz negativa). Então v = 2,u = 4,0,m/s.

Passo 5

A variação da energia cinética do atleta é
De<a KA = KAf - KAi = tfrac12,Ml[(u+2)^2 - u^2r] = tfrac12,Ml[4,u + 4r] = 2,M,(u + 1)
Como u=2, fica
De<a KA = 2,M,(2 + 1) = 6,M(J)
Pelo Teorema do Trabalho e Energia, o trabalho dos músculos é exatamente esse De<a KA.

Resposta

(a) Velocidade inicial do atleta u = 2,0,m/s e do garoto v = 4,0,m/s.
(b) Variação de energia cinética do atleta De<a KA = 6,M (J) e trabalho realizado W = 6,M (J), em que M é a massa do atleta.

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