Mostre que a energia de radiação espalhada a 90^{\circ} devido ao efeito Compton não pode exceder a energia de repouso do elétron.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado:
  • Pedido: mostrar que a energia do fóton espalhado a 90^\circ não pode exceder a energia de repouso do elétron.
  • Dados implícitos que vamos usar:
    • Um fóton incidente de energia E incide sobre um elétron inicialmente em repouso.
    • O fóton é espalhado por 90^\circ (ângulo de espalhamento \theta = 90^\circ).
    • Energia de repouso do elétron é mc^2, onde m é a massa de repouso do elétron e c é a velocidade da luz.
  • Objetivo matemático claro: encontrar a energia E' do fóton espalhado a 90^\circ em função de E e mc^2, e provar que E' \le mc^2 (na prática mostraremos E'<mc^2 para E>0 e que a igualdade só se obtém no limite).

Passo 2

Fórmulas fundamentais que vamos usar e significado das variáveis:
  • Comprimento de onda e energia do fóton: se \lambda é o comprimento de onda, então a energia é
E=\frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Para o fóton espalhado, usaremos \lambda' e E'=\dfrac{hc}{\lambda'}.
  • Fórmula do deslocamento de comprimento de onda (relação de dispersão entre \lambda e \lambda'):
\lambda'-\lambda=\frac{h}{mc}\,(1-\cos\theta),
onde \theta é o ângulo de dispersão e m é a massa de repouso do elétron.
  • Explicação: a fórmula acima relaciona a diferença de comprimentos de onda antes e depois do espalhamento com o ângulo \theta e é obtida aplicando conservação de energia e momento (não vamos refazer toda a dedução relativística aqui; usaremos esta relação padrão e vamos convertê‑la em termos de energias, que é direto e pedagógico).

Passo 3

Converter a fórmula do deslocamento de comprimento de onda em uma relação entre E e E':
  • Começo substituindo \lambda = \dfrac{hc}{E} e \lambda' = \dfrac{hc}{E'} na fórmula do deslocamento:
\frac{hc}{E'}-\frac{hc}{E}=\frac{h}{mc}\,(1-\cos\theta).
  • Dividindo tudo por h e por c para simplificar:
\frac{1}{E'}-\frac{1}{E}=\frac{1-\cos\theta}{mc^2}.
  • Isolando E':
\frac{1}{E'}=\frac{1}{E}+\frac{1-\cos\theta}{mc^2} \quad\Rightarrow\quad E'=\frac{1}{\dfrac{1}{E}+\dfrac{1-\cos\theta}{mc^2}}.
  • Uma forma mais elegante e prática desta expressão é:
E'=\frac{E}{1+\dfrac{E}{mc^2}(1-\cos\theta)}.
Nesta fórmula:
  • E é a energia do fóton incidente,
  • E' é a energia do fóton espalhado a ângulo \theta,
  • mc^2 é a energia de repouso do elétron.

Passo 4

Aplicar o caso específico \theta=90^\circ:
  • Para \theta=90^\circ tem-se \cos 90^\circ=0, logo 1-\cos\theta=1.
  • Substituindo em E'=\dfrac{E}{1+\dfrac{E}{mc^2}(1-\cos\theta)} obtemos:
E'=\frac{E}{1+\dfrac{E}{mc^2}}.
  • Reescrevendo de maneira útil para comparar com mc^2:
E' = mc^2\cdot\frac{E}{E+mc^2}.

Passo 5

Mostrar que E'<mc^2 (portanto não excede mc^2):
  • Observe a fração \dfrac{E}{E+mc^2}. Para qualquer E\ge 0 e mc^2>0 vale
0\le \frac{E}{E+mc^2}<1,
pois E+mc^2>E quando mc^2>0.
  • Multiplicando por mc^2>0 obtemos
0\le E' = mc^2\cdot\frac{E}{E+mc^2} < mc^2.
  • Portanto E'<mc^2 para qualquer fóton incidente com energia finita E>0. A desigualdade é estrita: o fóton espalhado a 90^\circ tem sempre energia menor que a energia de repouso do elétron.
  • Observação adicional (intuição): quando E cresce muito ( E\to\infty), a fração \dfrac{E}{E+mc^2}\to 1 e então E'\to mc^2 pelo lado inferior — ou seja, mc^2 é um limite superior assintótico que não é ultrapassado por E'.

Passo 6

Recapitulando de forma didática e com uma conclusão motivadora:
  • A expressão exata para a energia do fóton espalhado a 90^\circ é
E'=\frac{E}{1+\dfrac{E}{mc^2}}.
  • Dela segue diretamente que E'<mc^2 para todo E>0 e que E' tende a mc^2 apenas no limite E\to\infty.
  • Conclusão física simples: o processo de espalhamento transfere energia ao elétron, e há um teto natural (a energia de repouso do elétron) que a energia do fóton espalhado não alcança nem ultrapassa no caso de espalhamento a 90^\circ.

Resposta

E'=\dfrac{E}{1+\dfrac{E}{mc^2}}<mc^2

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