Mostre que a energia de radiação espalhada a
devido ao efeito Compton não pode exceder a energia de repouso do elétron.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado:
- Pedido: mostrar que a energia do fóton espalhado a
não pode exceder a energia de repouso do elétron. - Dados implícitos que vamos usar:
- Um fóton incidente de energia
incide sobre um elétron inicialmente em repouso. - O fóton é espalhado por
(ângulo de espalhamento ). - Energia de repouso do elétron é
, onde é a massa de repouso do elétron e é a velocidade da luz.
- Um fóton incidente de energia
- Objetivo matemático claro: encontrar a energia
do fóton espalhado a em função de e , e provar que (na prática mostraremos para e que a igualdade só se obtém no limite).
Passo 2
Fórmulas fundamentais que vamos usar e significado das variáveis:
- Comprimento de onda e energia do fóton: se
é o comprimento de onda, então a energia é
onde
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz. Para o fóton espalhado, usaremos
e
.
- Fórmula do deslocamento de comprimento de onda (relação de dispersão entre
e ):
onde
é o ângulo de dispersão e
é a massa de repouso do elétron.
- Explicação: a fórmula acima relaciona a diferença de comprimentos de onda antes e depois do espalhamento com o ângulo
e é obtida aplicando conservação de energia e momento (não vamos refazer toda a dedução relativística aqui; usaremos esta relação padrão e vamos convertê‑la em termos de energias, que é direto e pedagógico).
Passo 3
Converter a fórmula do deslocamento de comprimento de onda em uma relação entre
e
:
- Começo substituindo
e na fórmula do deslocamento:
- Dividindo tudo por
e por para simplificar:
- Isolando
:
- Uma forma mais elegante e prática desta expressão é:
Nesta fórmula:
-
é a energia do fóton incidente, -
é a energia do fóton espalhado a ângulo , -
é a energia de repouso do elétron.
Passo 4
Aplicar o caso específico
:
- Para
tem-se , logo . - Substituindo em
obtemos:
- Reescrevendo de maneira útil para comparar com
:
Passo 5
Mostrar que
(portanto não excede
):
- Observe a fração
. Para qualquer e vale
pois
quando
.
- Multiplicando por
obtemos
- Portanto
para qualquer fóton incidente com energia finita . A desigualdade é estrita: o fóton espalhado a tem sempre energia menor que a energia de repouso do elétron. - Observação adicional (intuição): quando
cresce muito ( ), a fração e então pelo lado inferior — ou seja, é um limite superior assintótico que não é ultrapassado por .
Passo 6
Recapitulando de forma didática e com uma conclusão motivadora:
- A expressão exata para a energia do fóton espalhado a
é
- Dela segue diretamente que
para todo e que tende a apenas no limite . - Conclusão física simples: o processo de espalhamento transfere energia ao elétron, e há um teto natural (a energia de repouso do elétron) que a energia do fóton espalhado não alcança nem ultrapassa no caso de espalhamento a
.