Sobre uma superfície de alumínio, incide uma radiação de comprimento de onda 200 nm . Sabendo que para o alumínio são necessários 4,2 \mathrm{eV} para remover um elétron, determine:
a) a energia cinética máxima dos elétrons emitidos;
b) o potencial de corte;
c) o comprimento de onda limite para o alumínio;
d) o número de elétrons emitidos por unidade de tempo e por unidade de área sabendo-se que a radiação incidente sobre o catodo, com comprimento de onda 200 nm , tem intensidade de 2,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas. Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Comprimento de onda da radiação incidente: \lambda=200\\ \mathrm{nm}.
  • Função trabalho do alumínio: \Phi=4{,}2\\ \mathrm{eV}.
  • Intensidade da radiação incidente: I=2{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Perguntas:
(a) Determinar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos.
(b) Determinar o potencial de corte (potencial que impede a emissão).
(c) Determinar o comprimento de onda limite (limiar) para o alumínio.
(d) Determinar o número de elétrons emitidos por unidade de tempo e por unidade de área, para a radiação de \lambda=200\\ \mathrm{nm} com intensidade I=2{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 2

Conceito e fórmula principal (explicando cada símbolo): na explicação fotoelétrica de Einstein, cada fóton de frequência \nu transporta energia h\nu. A relação entre energia do fóton e comprimento de onda é
E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck ( h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}) e c é a velocidade da luz no vácuo ( c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}).
A energia necessária para arrancar um elétron do metal é a função trabalho \Phi. A energia cinética máxima dos elétrons emitidos é dada por
K_{\max}=E_{\text{fóton}}-\Phi.ó
Aqui K_{\max} é a energia cinética máxima (em joules ou eV), E_{\text{fóton}}ó é a energia do fóton e \Phi a função trabalho (ambos na mesma unidade).
Observação prática: é comum usar a constante hc em unidades \mathrm{eV\cdot nm}: hc\approx1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}. Isso facilita calcular E_{\text{fóton}}ó diretamente em eV quando \lambda está em nm:
E_{\text{fóton}}\;(\mathrm{eV})=\frac{1240}{\lambda\;(\mathrm{nm})}.ó

Passo 3

Calcular a energia do fóton correspondente a \lambda=200\\ \mathrm{nm}. Usando a forma em \mathrm{eV}:
E_{\text{fóton}}=\frac{1240}{200}=6{,}2\\ \mathrm{eV}.ó
Converter para joules (porque 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E_{\text{fóton}}=6{,}2\times1{,}602\times10^{-19}=9{,}93\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó

Passo 4

Calcular a energia cinética máxima K_{\max} usando K_{\max}=E_{\text{fóton}}-\Phió. Em eV:
K_{\max}=6{,}2\\ \mathrm{eV}-4{,}2\\ \mathrm{eV}=2{,}0\\ \mathrm{eV}.
Em joules:
K_{\max}=2{,}0\times1{,}602\times10^{-19}=3{,}204\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Explicar e calcular o potencial de corte V_{0}. O potencial de corte é o potencial elétrico necessário para reduzir a energia cinética máxima a zero; portanto vale
eV_{0}=K_{\max},
onde e é a carga elementar ( e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}). Assim
V_{0}=\frac{K_{\max}}{e}.
Como K_{\max}=2{,}0\\ \mathrm{eV}, temos imediatamente V_{0}=2{,}0\\ \mathrm{V}. (Em termos de joules a razão também dá o mesmo valor em volt.)

Passo 6

Encontrar o comprimento de onda limite \lambda_{0} (limiar). A condição de limiar é que o fóton tenha exatamente a energia da função trabalho:
\Phi = \frac{hc}{\lambda_{0}}.
Isolando \lambda_{0}:
\lambda_{0}=\frac{hc}{\Phi}.
Usando \Phi em eV e hc=1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}:
\lambda_{0}=\frac{1240}{4{,}2}=295{,}238\\ \mathrm{nm}\approx295{,}2\\ \mathrm{nm}.
Em metros: \lambda_{0}\approx2{,}952\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular o fluxo de fótons (número de fótons incidentes por unidade de tempo e por unidade de área), que é a intensidade dividida pela energia por fóton. Explicando símbolos:
  • I é a intensidade (potência por área) em \mathrm{W\,m^{-2}}=\mathrm{J\,s^{-1}\,m^{-2}}.
  • E_{\text{fóton}}ó é a energia de um fóton em joules.
O fluxo de fótons \Phi_{\text{fótons}}ó é
\Phi_{\text{fótons}}=\frac{I}{E_{\text{fóton}}}.óó
Substituindo I=2{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-2}} e E_{\text{fóton}}=9{,}93\times10^{-19}\\ \mathrm{J}ó:
\Phi_{\text{fótons}}=\frac{2{,}5}{9{,}93\times10^{-19}}=2{,}52\times10^{18}\\ \mathrm{s^{-1}\,m^{-2}}.ó

Passo 8

Relacionar fluxo de fótons com número de elétrons emitidos. Cada fóton acima do limiar pode, no máximo, liberar um elétron (isto é, eficiência quântica máxima =1). O enunciado não dá eficiência quântica menor que 1, então assumimos a correspondência 1 fóton → 1 elétron emitido (raciocínio padrão em exercícios quando não se informa eficiência). Portanto o número de elétrons emitidos por unidade de tempo e por unidade de área é igual ao fluxo de fótons:
\text{elétrons por unidade de tempo e área}=2{,}52\times10^{18}\\ \mathrm{s^{-1}\,m^{-2}}.éá

Resposta

(a) K_{\max}=2{,}0\\ \mathrm{eV}=3{,}204\times10^{-19}\\ \mathrm{J}
(b) V_{0}=2{,}0\\ \mathrm{V}
(c) \lambda_{0}=295{,}24\\ \mathrm{nm}\approx2{,}95\times10^{-7}\\ \mathrm{m}
(d) 2{,}52\times10^{18}\\ \mathrm{s^{-1}\,m^{-2}}

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