Um secador evapora benzeno de um sólido usando nitrogênio. Dentro do secador, o nitrogênio está a 1,5 \mathrm{~atm} e 10^{\circ} \mathrm{C} e tem uma umidade relativa de 40 \%. Calcule:
a) Pressão parcial do benzeno. Sua pressão de vapor a 10^{\circ} \mathrm{C} é 45,6 \mathrm{mmHg}.
b) Umidade absoluta da mistura nitrogênio/benzeno;
c) Umidade absoluta de saturação da mistura;
d) Percentagem de umidade da mistura;

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente cada pergunta e todos os dados que temos (sem resolver ainda):
  • Perguntas:
    a) Calcular a pressão parcial do benzeno dentro do secador.
    b) Calcular a umidade absoluta da mistura nitrogênio/benzeno (ou seja, massa de benzeno por massa de nitrogênio seco).
    c) Calcular a umidade absoluta de saturação da mistura (mesma definição que em b), mas para vapor saturado a 10^\circ\mathrm{C}).
    d) Calcular a percentagem de umidade da mistura (vou interpretar como a percentagem de saturação em base de massa: \dfrac{\text{umidade absoluta}}{\text{umidade absoluta de saturação}}\times100\%çã).
  • Dados fornecidos no enunciado:
    \begin{aligned} &\text{Pressão total do gás: } && p = 1{,}5\\ \mathrm{atm},\\\ &\text{Temperatura: } && T = 10^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Umidade relativa (em pressão) do benzeno: } && \varphi = 40\% = 0{,}40,\\\ &\text{Pressão de vapor do benzeno a }10^\circ\mathrm{C}: && p_{\text{sat}}(\text{benzeno}) = 45{,}6\\ \mathrm{mmHg}. \end{aligned}ãáãã
  • Constantes/massas molares que usarei (valores comuns):
    M_{\text{C}_6\text{H}_6}=78{,}11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}},\qquad M_{\text{N}_2}=28{,}02\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
No próximo passo começo a resolver, explicando as fórmulas que vou usar.

Passo 2

(a) Entendendo a definição de umidade relativa (no contexto de um vapor puro): a umidade relativa \varphi é a razão entre a pressão parcial real do vapor e a pressão de vapor de saturação à mesma temperatura:
\varphi=\frac{p_{v}}{p_{\text{sat}}}.
Daí a pressão parcial do benzeno p_{b} é
p_{b}=\varphi\;p_{\text{sat}}.
Vou calcular usando p_{\text{sat}}=45{,}6\\ \mathrm{mmHg} (dado da imagem/enunciado).

Passo 3

Cálculo explícito da pressão parcial (parte a):
p_{b}=0{,}40\cdot 45{,}6\\ \mathrm{mmHg}=18{,}24\\ \mathrm{mmHg}.
Costuma ser útil também converter para atmosferas usando 1\\ \mathrm{atm}=760\\ \mathrm{mmHg}:
p_{b}=\frac{18{,}24}{760}\\ \mathrm{atm}=0{,}0240\\ \mathrm{atm}.
Vou usar este valor em atm nas contas seguintes porque a pressão total foi dada em atm.

Passo 4

(b) Definição e fórmula da umidade absoluta (razão de massas):
Queremos w=\dfrac{m_{\text{benzeno}}}{m_{\text{N}_2}} em \mathrm{kg\;benzeno}/\mathrm{kg\;N_2}. Pela idealidade dos gases, o número de mols é proporcional à pressão parcial; assim:
\frac{n_{v}}{n_{a}}=\frac{p_{v}}{p-p_{v}},
onde p é a pressão total e p_v a pressão parcial do vapor (aqui benzeno). Convertendo para massas:
w=\frac{m_v}{m_a}=\frac{n_v M_v}{n_a M_a}=\frac{M_v}{M_a}\cdot\frac{p_v}{p-p_v}.
Esta fórmula é muito usada em problemas de secagem: \;w=\dfrac{M_v}{M_a}\dfrac{p_v}{p-p_v}\;.
Vou explicar cada símbolo:
  • M_v = massa molar do vapor (benzeno) em \mathrm{kg\;mol^{-1}} (vou usar \mathrm{g\;mol^{-1}} e cuidar das unidades no fim),
  • M_a = massa molar do gás seco (nitrogênio) em \mathrm{g\;mol^{-1}},
  • p_v = pressão parcial do vapor (em atm),
  • p = pressão total do gás (em atm).

Passo 5

Aplicando a fórmula para a umidade absoluta (parte b). Primeiro coloco as massas molares (convertendo para kg/mol dá o mesmo resultado por razões de razão, mas mantenho g/mol e o resultado será adimensional):
M_v=78{,}11\\ \mathrm{g\;mol^{-1}},\qquad M_a=28{,}02\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Usando p_{b}=0{,}0240\\ \mathrm{atm} e p=1{,}5\\ \mathrm{atm}:
w=\frac{78{,}11}{28{,}02}\cdot\frac{0{,}0240}{1{,}5-0{,}0240}.
Faço as contas passo a passo:
\frac{78{,}11}{28{,}02}\approx 2{,}788, \qquad 1{,}5-0{,}0240=1{,}476.
\frac{0{,}0240}{1{,}476}\approx 0{,}016260\quad\Rightarrow\quad w\approx 2{,}788\cdot 0{,}016260 \approx 0{,}0453.
Portanto
w\approx 0{,}0453\\ \mathrm{kg\;benzeno/kg\;N_2}=45{,}3\\ \mathrm{g\;benzeno/kg\;N_2}.

Passo 6

(c) Umidade absoluta de saturação: faz-se a mesma fórmula, mas com p_v=p_{\text{sat}} (ou seja, para 100% de saturação a 10^\circ\mathrm{C}). Já temos p_{\text{sat}}=45{,}6\\ \mathrm{mmHg}=0{,}06\\ \mathrm{atm} (porque 45{,}6/760=0{,}06 exatamente).
Usando a mesma fórmula:
w_{\text{sat}}=\frac{M_v}{M_a}\cdot\frac{p_{\text{sat}}}{p-p_{\text{sat}}} =\frac{78{,}11}{28{,}02}\cdot\frac{0{,}06}{1{,}5-0{,}06}.
Calculo:
1{,}5-0{,}06=1{,}44,\qquad \frac{0{,}06}{1{,}44}=0{,}0416667.
w_{\text{sat}}\approx 2{,}788\cdot 0{,}0416667 \approx 0{,}1162.
Logo
w_{\text{sat}}\approx 0{,}1162\\ \mathrm{kg\;benzeno/kg\;N_2}=116{,}2\\ \mathrm{g\;benzeno/kg\;N_2}.

Passo 7

(d) Percentagem de umidade da mistura (interpretação adotada: percentagem de saturação em base de massa) — ou seja:
\text{Percentagem}=\frac{w}{w_{\text{sat}}}\times 100\%.
Substituindo os valores calculados:
\frac{0{,}0453}{0{,}1162}\times 100\%\approx 39{,}0\%.
Comentário útil: isto dá cerca de 39{,}0\%, ligeiramente diferente dos 40\% que eram a umidade relativa em pressão; isso acontece porque a relação entre pressão parcial e massa não é linear sem considerar as massas molares — ou seja, umidade relativa em pressão e percentagem por massa não coincidem necessariamente. Mas a ideia é: a mistura tem aproximadamente 39{,}0\% da umidade de saturação quando medida em base de massa.

Resposta

a) p_{\text{benzeno}}=18{,}24\\ \mathrm{mmHg}=0{,}0240\\ \mathrm{atm}.
b) Umidade absoluta w=0{,}0453\\ \mathrm{kg\;benzeno/kg\;N_2}=45{,}3\\ \mathrm{g/kg}.
c) Umidade absoluta de saturação w_{\text{sat}}=0{,}1162\\ \mathrm{kg\;benzeno/kg\;N_2}=116{,}2\\ \mathrm{g/kg}.
d) Percentagem de umidade (massa relativa à saturação) =39{,}0\%.

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