Um átomo dentro de um cristal está sujeito a um potencial da forma
U(r)=1 / 2(a x^2+b y^2+c z^2)
onde a, b e c são constantes características do cristal e x, y e z são as componentes do deslocamento do átomo em relação à posição de equilíbrio.
Calcule a força atuante sobre o átomo.
Resposta
F=-a x i-b y j-c z k

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos um átomo dentro de um cristal que está sujeito a um potencial $ U(\mathbf{r}) = \frac{1}{2}(a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}) $. Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes características do cristal, e $ x $, $ y $, $ z $ são as posições do átomo em relação ao ponto de equilíbrio. Nosso objetivo é calcular a força que está agindo sobre esse átomo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a relação entre potencial e força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força F está relacionada ao potencial $ U $ pela relação:
U
Aqui, F = -nabla U é o operador nabla, que envolve as derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. O sinal negativo indica que a força age na direção que reduz o potencial.

Passo 3

Vamos calcular cada componente da força separadamente. Primeiro, a derivada parcial de $ U $ em relação a $ x $:
U
Então, a componente $ x $ da força será:
x

Passo 4

Fazemos o mesmo para a componente $ y $:
y
Assim, a componente $ y $ da força é:
partial Upartial y = 12 cdot 2 b y = b y

Passo 5

E para a componente $ z $:
z
Portanto, a componente $ z $ da força é:
partial Upartial z = 12 cdot 2 c z = c z

Resposta

A força atuante sobre o átomo é dada por:
F = -a x, i - b y, j - c z, k

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