Um átomo dentro de um cristal está sujeito a um potencial da forma
onde a, b e c são constantes características do cristal e
, y e z são as componentes do deslocamento do átomo em relação à posição de equilíbrio.
Calcule a força atuante sobre o átomo.
Resposta
Calcule a força atuante sobre o átomo.
Resposta
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos um átomo dentro de um cristal que está sujeito a um potencial $ U(\mathbf{r}) = \frac{1}{2}(a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}) $. Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes características do cristal, e $ x $, $ y $, $ z $ são as posições do átomo em relação ao ponto de equilíbrio. Nosso objetivo é calcular a força que está agindo sobre esse átomo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a relação entre potencial e força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força
está relacionada ao potencial $ U $ pela relação:
Aqui,
é o operador nabla, que envolve as derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. O sinal negativo indica que a força age na direção que reduz o potencial.
Passo 3
Vamos calcular cada componente da força separadamente. Primeiro, a derivada parcial de $ U $ em relação a $ x $:
Então, a componente $ x $ da força será:
Passo 4
Fazemos o mesmo para a componente $ y $:
Assim, a componente $ y $ da força é:
Passo 5
E para a componente $ z $:
Portanto, a componente $ z $ da força é:
Resposta
A força atuante sobre o átomo é dada por: