Um canhão de brinquedo utiliza uma mola para projetar um tarugo de plástico de massa m. A mola do canhão tem constante elástica k e está inicialmente comprimida de L. Quando a mola é solta, o tarugo é arremessado e percorre 3 L pelo cano do canhão antes de ser lançado para fora. Existe um coeficiente de atrito mu entre o cano do canhão e o tarugo. O canhão faz um ângulo theta com a horizontal.
5a. Usando considerações de energia e expressando seus resultados em termos de m, L, k, mu, theta, h e g, determine: a) O módulo da velocidade com que o tarugo deixa o canhão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Estamos lidando com cinética e energia, especificamente usando princípios de conservação de energia para achar a velocidade com que o tarugo sai do canhão. Para isso, vamos precisar das seguintes variáveis: massa do tarugo ( m), comprimento comprimido da mola ( L), constante elástica da mola ( k), coeficiente de atrito ( mu), ângulo do canhão ( theta), a aceleração da gravidade ( g) e a altura ( h, se for necessária). Vamos seguir passo a passo para encontrar a velocidade final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as formas de energia envolvidas no processo. A mola comprimida tem energia potencial elástica, que será convertida em energia cinética do tarugo e também será gastas contra o atrito no cano do canhão.
A energia potencial elástica da mola é dada por:
Eelástica = 12 k L^2 á

Passo 3

Quando a mola é solta, essa energia é transformada em energia cinética do tarugo e em energia dissipada pelo atrito. A energia cinética ( Ecinéticaé) do tarugo é:
Ecinética = 12 m v^2 é
onde v é a velocidade do tarugo ao deixar o canh��o.

Passo 4

A energia gasta contra o atrito ( Eatrito) pode ser calculada multiplicando a força de atrito pelo caminho percorrido. A força de atrito ( Fatrito) é:
Fatrito = mu N
onde N é a força normal. Como o canhão está inclinado, a força normal é:
N = m g cos theta
Então, a energia dissipada pelo atrito é:
Eatrito = Fatrito times s = mu m g cos theta times 3L

Passo 5

Aplicando a conservação de energia, a energia elástica inicial da mola é igual à soma da energia cinética e da energia dissipada pelo atrito:
12 k L^2 = 12 m v^2 + mu m g cos theta times 3L

Passo 6

Agora, vamos isolar a velocidade v na equação. Primeiro, subtraímos a energia do atrito de ambos os lados:
12 k L^2 - 3 mu m g L cos theta = 12 m v^2

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
k L^2 - 6 mu m g L cos theta = m v^2

Passo 8

Agora, isolamos v^2 dividindo ambos os lados por m:
v^2 = k L^2m - 6 mu g L cos theta

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada dos dois lados para encontrar v:
v = raiz k L^2m - 6 mu g L cos theta

Resposta

A velocidade com que o tarugo deixa o canhão é:
v = raiz k L^2m - 6 mu g L cos theta

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