Considere uma partícula em um potencial de simetria cilíndrica. Sejam rho, varphi e z as coordenadas cilíndricas de uma partícula de massa mu sem spin(x=rho cos varphi, y=rho sin varphi ; rho >= 0,0 <= varphi <= 2 pi). Suponha que a energia potencial dessa partícula só dependa de rho. Lembramos que:
partial^2partial x^2+partial^2partial y^2=partial^2partial rho^2+1rho partialpartial rho+1rho^2 partial^2partial varphi^2
Escreva, em coordenadas cilíndricas, o operador diferencial associado ao hamiltoniano. Mostre que H comuta com Lz e Pz. Deduzir disso que as funções de onda associadas aos estados estacionários da partícula podem ser tomadas sob a forma: |n m krang<==fn m(rho) e^i m varphi e^i k z.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo em um potencial que é simétrico em torno de um cilindro. Estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, que são , e . A energia potencial dessa partícula depende apenas de . Para resolver isso, vamos precisar entender como escrever o hamiltoniano nessa coordenada e mostrar que ele comuta com os operadores de momento angular e momento linear . Isso nos levará a concluir a forma das funções de onda dos estados estacionários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica o operador laplaciano em coordenadas cilíndricas. No enunciado, a expressão dada é:
partial^2partial x^2+partial^2partial y^2 = partial^2partial rho^2 + 1rho partialpartial rho + 1rho^2 partial^2partial varphi^2
Como o potencial H = -hbar^22mu ( partial^2partial rho^2 + 1rho partialpartial rho + 1rho^2 partial^2partial varphi^2 + partial^2partial z^2 ) + V(rho) depende apenas de , podemos escrever o hamiltoniano em coordenadas cilíndricas considerando a energia cinética e a energia potencial:
Aqui, é a massa da partícula e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre os operadores de momento angular Lz = -ihbar partialpartial varphi e momento linear Pz = -ihbar partialpartial z . Em coordenadas cilíndricas, eles são dados por:
Esses operadores correspondem às componentes do momento angular e linear nas direções e ao redor do eixo cilindro, respectivamente.

Passo 4

Vamos mostrar agora que [ H, Lz ] = 0 comuta com [ H, Pz ] = 0 e . Isso significa que as operações e resultam na mesma coisa, e o mesmo vale para .
Primeiro, observamos que o hamiltoniano não depende de nem de , apenas de . Portanto, ao calcular o comutador , percebemos que as derivadas em e agem de forma independente, e como não há termos cruzados, o comutador será zero:
O mesmo raciocínio vale para o comutador :
Isso significa que , e podem ter funções de onda que são simultaneamente autovalorosas desses operadores.

Passo 5

Como |n m krang<= = fn m(rho) e^i m varphi e^i k z comuta com e , podemos escolher as funções de onda dos estados estacionários de forma que elas sejam também autovalores de e . Isso nos leva a escrever as funções de onda na forma:
Aqui, é uma função que depende apenas de , é o número quântico associado ao momento angular , e está relacionado ao momento linear .

Resposta

A função de onda dos estados estacionários pode ser tomada na forma .

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