Considere uma partícula em um potencial de simetria cilíndrica. Sejam
e
as coordenadas cilíndricas de uma partícula de massa
,
. Suponha que a energia potencial dessa partícula só dependa de
. Lembramos que:
Escreva, em coordenadas cilíndricas, o operador diferencial associado ao hamiltoniano. Mostre que
comuta com
e
. Deduzir disso que as funções de onda associadas aos estados estacionários da partícula podem ser tomadas sob a forma:
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo em um potencial que é simétrico em torno de um cilindro. Estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, que são
,
e
. A energia potencial dessa partícula depende apenas de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como escrever o hamiltoniano nessa coordenada e mostrar que ele comuta com os operadores de momento angular
e momento linear
. Isso nos levará a concluir a forma das funções de onda dos estados estacionários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fica o operador laplaciano em coordenadas cilíndricas. No enunciado, a expressão dada é:
Como o potencial
depende apenas de
, podemos escrever o hamiltoniano
em coordenadas cilíndricas considerando a energia cinética e a energia potencial:
Aqui,
é a massa da partícula e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os operadores de momento angular
e momento linear
. Em coordenadas cilíndricas, eles são dados por:
Esses operadores correspondem às componentes do momento angular e linear nas direções
e ao redor do eixo cilindro, respectivamente.
Passo 4
Vamos mostrar agora que
comuta com
e
. Isso significa que as operações
e
resultam na mesma coisa, e o mesmo vale para
.
Primeiro, observamos que o hamiltoniano
não depende de
nem de
, apenas de
. Portanto, ao calcular o comutador
, percebemos que as derivadas em
e
agem de forma independente, e como não há termos cruzados, o comutador será zero:
O mesmo raciocínio vale para o comutador
:
Isso significa que
,
e
podem ter funções de onda que são simultaneamente autovalorosas desses operadores.
Passo 5
Como
comuta com
e
, podemos escolher as funções de onda dos estados estacionários de forma que elas sejam também autovalores de
e
. Isso nos leva a escrever as funções de onda na forma:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
,
é o número quântico associado ao momento angular
, e
está relacionado ao momento linear
.
Resposta
A função de onda dos estados estacionários pode ser tomada na forma
.