Em
o átomo de hidrogênio encontra-se na autofunção
na base
. Ignore o spin.
Qual a probabilidade de encontrar o elétron dentro de um raio de
do próton
? Uma boa aproximação é aceitável aqui.
Qual a probabilidade de encontrar o elétron dentro de um raio de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um átomo de hidrogênio no tempo $ t = 0 $ com uma função de onda dada por uma combinação de autofunções $ |\psi(\mathbf{r}, 0)\rangle $. O objetivo é calcular a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância de no máximo $ 10^{-10} $ cm do próton nesse instante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a funções de onda, probabilidades e autofunções do átomo de hidrogênio.
Passo 2
Primeiro, precisamos compreender a função de onda fornecida:
Aqui, os estados $ |n l m\rangle $ representam as autofunções do átomo de hidrogênio, onde:
- $ n $ é o número quântico principal,
- $ l $ é o número quântico azimutal,
- $ m $ é o número quântico magnético.
Cada termo na combinação representa uma autofunção com diferentes valores de $ n, l, m $.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de localizar o elétron dentro de um raio $ r_0 = 10^{-10} $ cm, precisamos calcular a integral da densidade de probabilidade $ |\psi(\mathbf{r}, 0)|^2 $ sobre a esfera de raio $ r_0 $:
Onde $ dV $ é o elemento de volume esférico, $ dV = 4\pi r^2 dr $.
Passo 4
Como a função de onda é uma combinação de autofunções ortogonais, a densidade de probabilidade pode ser simplificada somando as probabilidades individuais multiplicadas pelos módulos ao quadrado dos coeficientes correspondentes:
Passo 5
Agora, a probabilidade $ P(r \leq r_0) $ será:
Onde $ P_{nlm}(r \leq r_0) $ é a probabilidade de encontrar o elétron no estado $ |nlm\rangle $ dentro de $ r_0 $.
Passo 6
Para cada estado $ |nlm\rangle $, a probabilidade $ P_{nlm}(r \leq r_0) $ depende apenas do número quântico $ n $ e $ l $, já que a distribuição radial é independente de $ m $. Assim, podemos calcular essa probabilidade usando as funções de distribuição radial do hidrogênio.
Passo 7
As funções de distribuição radial $ R_{nl}® $ para o átomo de hidrogênio são conhecidas, e a probabilidade $ P_{nl}(r \leq r_0) $ é dada por:
Para simplificar, vamos utilizar valores aproximados ou propriedades conhecidas das distribuições radiais para os estados envolvidos: $ |100\rangle $ e $ |210\rangle $, $ |211\rangle $, $ |21-1\rangle $.
Passo 8
Sabemos que para o estado fundamental $ |100\rangle $, a probabilidade de encontrar o elétron próximo ao núcleo é maior. Já para os estados excitados $ |210\rangle $, $ |211\rangle $, $ |21-1\rangle $, a probabilidade é menor. Contudo, para uma boa aproximação, podemos assumir que a maior contribuição vem do estado fundamental.
Passo 9
Portanto, uma aproximação razoável seria considerar apenas a contribuição do estado $ |100\rangle $:
Assumindo que a maior parte da probabilidade está no estado fundamental.
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron dentro de um raio de $ 10^{-10} $ cm do próton em $ t = 0 $ é aproximadamente $ \boxed{\dfrac{2}{5}} $, ou seja, 40%.